Vektorraum V = R [X]

19.06.2010, 11:36

manop

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Vektorraum V = R [X]

Meine Frage:
Wir betrachten den reellen Vektorraum V = R[X]. Zeigen Sie, dass
U = {f in V | f(-1) = f(0) = f(1) = 0 } ein Untervektorraum ist und geben Sie die
Dimension des Quotientenraumes V/U an!

Meine Ideen:
So ich weis, dass es um Polynomringe geht, die die o.g. Nullstellen besitzen. Der deg der Polynome muss also min. 3 sein, damit diese 3 Nullstellen haben. Wenn diese mehr Nullstellen haben, ist es doch "egal", weil nur diese 3 Bedingung sind. Also müsste dim=unendlich sein, oder?

19.06.2010, 12:04

wisili

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RE: Vektorraum V = R [X]
Ja, für U und V, aber nicht für V/U.

19.06.2010, 14:01

manop

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RE: Vektorraum V = R [X]
Ok. Das bedeutet doch, dass in U alle Polynome mit deg(3) sind oder?

Also muss ich doch alle ÄR (trans, refl, symm) für den Unterraum prüfen. Wie wäre da mein Ansatz?

Die Idee ist doch dann, dass ich aus V alle U "rausdividiere" oder?

20.06.2010, 14:37

Reksilat

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RE: Vektorraum V = R [X]

Zitat:

Ok. Das bedeutet doch, dass in U alle Polynome mit deg(3) sind oder?

Nein, z.B. $\begin{eqnarray*} x^3\not\in U \end{eqnarray*}$

Zitat:

Die Idee ist doch dann, dass ich aus V alle U "rausdividiere" oder?

Es gibt hier nur ein U. Was meinst Du mit "alle U"?

Zitat:

Also muss ich doch alle ÄR (trans, refl, symm) für den Unterraum prüfen. Wie wäre da mein Ansatz?

Wie kommst Du darauf? Es sind die Unterraumkriterien nachzuweisen. Welche sind das?

Anschließend solltest Du Dir überlegen, wie die Elemente von U allgemein aussehen, d.h. welche irreduziblen Polynome immer als Teiler auftreten.

Gruß,
Reksilat.

20.06.2010, 16:36

manop

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RE: Vektorraum V = R [X]
Wieso ist x³ nicht element U. Hat doch 3 Nullstellen.

Der Unterraum darf nicht leer und abgeschlossen bzgl. Add und Mulitpl. sein. Ich weiss aber leider nicht, wie ich das in diesem Fall mache. Polynomringe habe ich noch nicht wirklich verstanden. verwirrt

verwirrt

Zitat: Anschließend solltest Du Dir überlegen, wie die Elemente von U allgemein aussehen, d.h. welche irreduziblen Polynome immer als Teiler auftreten.

=> Das hatten wir in der Vorlesung noch nicht.

Keine Vorstellung davon, wie die auszusehen haben.

Danke

20.06.2010, 16:50

Reksilat

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RE: Vektorraum V = R [X]
Vergleiche doch bitte erst die Definition Deiner Menge $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ mit der Behauptung $\begin{eqnarray*} x^3\not \in U \end{eqnarray*}$ , bevor Du hier einfach nur "wieso?" fragst. Die 1 ist offensichtlich keine Nullstelle von $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Der Unterraum darf nicht leer und abgeschlossen bzgl. Add und Mulitpl. sein. Ich weiss aber leider nicht, wie ich das in diesem Fall mache.

Du weißt nicht, wie Du zeigst, dass eine Menge nicht leer ist? unglücklich

unglücklich

Eine Multiplikation gibt es in Vektorräumen im allgemeinen nicht. Du meinst wahrscheinlich Skalarmultiplikation.

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20.06.2010, 17:14

manop

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RE: Vektorraum V = R [X]
Die Menge U kann nicht leer sein, da Nullpolynome element U sind. Außerdem ker(U)=0. Oder kann ich das auch sehen, weil f(0)=0 ist?

f(-1)=f(1) => f(-1)+f(1)=0 element U

alpha * f(1)=0

so richtig? Ich bin da noch nicht so sicher!

Sorry zu schnell geschossen wg. x³.

Schlechte Laune wegen der Serbienpleite? Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.06.2010, 17:26

Reksilat

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RE: Vektorraum V = R [X]

Zitat:

Außerdem ker(U)=0.

U ist keine Abbildung. Ker(U) ist somit nicht definiert.

Zitat:

Oder kann ich das auch sehen, weil f(0)=0 ist?

Was soll in diesem Falle f sein?

Zitat:

f(-1)=f(1) => f(-1)+f(1)=0 element U

Was soll hier in U sein? Null ist hier ein Körperelement und somit bestimmt nicht in U. U besteht aus Polynomen.

Zitat:

alpha * f(1)=0

Was ist alpha? Was soll diese Gleichung aussagen?

Tut mir leid, aber ich kann mit Deinen Ausführungen absolut nichts anfangen. unglücklich

unglücklich

20.06.2010, 17:35

manop

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RE: Vektorraum V = R [X]
U ist der Untervektorraum von des reelen Vektorraumes V.

In U sind doch die Nullpolynome enthalten, also ist U nicht leer, oder? f ist in der Aufgabenstellung definiert als f element U mit der Eigenschaft: f(-1)=f(0)=f(1)=0

alpha ist ein Skalar. Also für die Skalarmultiplikaten wäre doch dann: alpha mal f(1)=0
weil f(1)=0 oder?

20.06.2010, 18:03

Reksilat

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RE: Vektorraum V = R [X]

Zitat:

In U sind doch die Nullpolynome enthalten, also ist U nicht leer, oder?

Mal abgesehen davon, dass es nur ein Nullpolynom gibt, ja.

Zitat:

f ist in der Aufgabenstellung definiert als f element U mit der Eigenschaft: f(-1)=f(0)=f(1)=0

Nein, U besteht aus allen f, die die Eigenschaft erfüllen. Dadurch ist f aber nicht allgemein definiert.

Zitat:

alpha ist ein Skalar.

Dann schreib das auch gleich dazu. Etwas so: Sei $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Allgemein solltest Du Dir ein paar Beweise ähnlicher Art anschauen, damit Du überhaupt erst mal ein Gefühl dafür bekommst, wie solche Argumentationen ablaufen.
Um zu zeigen, dass eine Menge unter der Addition abgeschlossen ist, solltest Du erst mal zwei beliebige Elemente f und g aus der Menge nehmen und dann zeigen, dass (f+g) ebenfalls die geforderten Eigenschaften erfüllt.
Das sieht dann so aus:

$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}Seien $f$ und $g$ aus $U$. Damit ist $f(1)=g(1)=0$ und <br /> somit $(f+g)(1)=f(1)+g(1)=0+0=0$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$

Nun fehlen noch die restlichen Bedingungen, um zu zeigen, dass f+g in U liegt.

Das gleich dann mit eine beliebigen f aus und U und einem beliebigen Skalar $\begin{eqnarray*} \alpha\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , um die Abgeschlossenheit bzgl. Skalarmultiplikation zu zeigen.

20.06.2010, 18:33

manop

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RE: Vektorraum V = R [X]
Ok, danke erstmal.

Kann man denn immer bei den Unterraumaxiomen argumentieren, dass wenigstens dass Null-Element bzw. -Polynom enthalten ist, und damit der Unterraum nicht leer ist?

$\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R \Rightarrow \lambda \cdot f\left(0\right) = \lambda \cdot 0= 0 \in U \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?

Wie mache ich dann weiter? Ich kann ja nicht durch einen Steckbrief ein Polynom basteln.

20.06.2010, 18:36

Reksilat

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RE: Vektorraum V = R [X]
Da steht schon wieder $\begin{eqnarray*} 0\in U \end{eqnarray*}$ . unglücklich

unglücklich

Du musst sehen, dass das in diesem Fall aber die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist und die Aussage somit nicht stimmen kann. Das Nullpolynom, welches tatsächlich U liegt, ist etwas völlig anderes.
Was genau willst Du zeigen? Das ist wichtig!

20.06.2010, 18:43

manop

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RE: Vektorraum V = R [X]
Ich will zeigen, dass ein Element das Unterraumes mit einem Skalar multipliziert auch wieder im Unterraum liegt. Das nennt man doch Abgeschlossenheit bzgl. der Skalarmulitplikation.

Ich weis also nur definitiv, dass das Nullpolynom im Unterraum liegt. Also muss das bel. Element multipliziert mit einem Skalar das Nullpolynom sein, oder?

20.06.2010, 18:48

Reksilat

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RE: Vektorraum V = R [X]

Zitat:

Ich will zeigen, dass ein Element das Unterraumes mit einem Skalar multipliziert auch wieder im Unterraum liegt.

Oder anders ausgedrückt: $\begin{eqnarray*} (\alpha\cdot f)\in U \end{eqnarray*}$ .
Und was muss man nun alles zeigen, wenn man das beweisen will?

Zitat:

Ich weis also nur definitiv, dass das Nullpolynom im Unterraum liegt. Also muss das bel. Element multipliziert mit einem Skalar das Nullpolynom sein, oder?

Nein! Es liegen auch weitaus mehr Elemente in U. Ein Beispiel ist schnell gefunden.
Das ist hier aber erstmal nicht von belang.

20.06.2010, 19:07

manop

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RE: Vektorraum V = R [X]
$\begin{eqnarray*} \left(\lambda\cdot f\right) \left(1\right) = \lambda \cdot f\left(1\right) = \lambda \cdot 0= 0 \end{eqnarray*}$

Etwa so? Oder wieder falsch?

20.06.2010, 21:17

Reksilat

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RE: Vektorraum V = R [X]
Freude

Freude

20.06.2010, 22:29

manop

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RE: Vektorraum V = R [X]
Ok. Harte Arbeit!

Aber wie zeige ich jetzt die Dim des Quotientenvektorraumes?

20.06.2010, 22:32

Reksilat

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RE: Vektorraum V = R [X]
Schau mal hier mit rein: Untervektorrum und Dimension von Quotientenraum

20.06.2010, 22:41

manop

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RE: Vektorraum V = R [X]
Ok.

Schleppend trifft es wohl ziemlich genau. sorry Tränen

Tränen

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