Gateaux Differenzierbarkeit

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BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »
Gateaux Differenzierbarkeit
Hallo seien E und F Banachräume und sei offen. Sei weiter eine Abbildung und .

Wir nennen f Gateaux Differenzierbar, wenn alle Richtungsableitungen

existieren und die Abbildung


Nun ist mir klar dass erster Term einfach nur die partielle Ableitung der Funktion ist. Da ich Ana II hatte ist mir schon klar was das ist. Aber mit habe ich so meine Probleme, denn wie ich gerade im Königsberger gelesen habe ist doch normalerweise das Differential gegeben durch

Wieso ist denn das Differential nun gleich der partiellen Ableitung kann mir dass mal einer erklären ? Das sehe ich gerade nicht so ganz ein, es müsste doch eine Summe sein über die partiellen Ableitungen.


Zitat:
stetig und linear ist.

Diese Forderung ist doch gleichbedeutend zur Forderung das alle partiellen Ableitung stetig sind ?
BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »

Gilt wegen:


Hab im Königsberger nochmal genauer gelesen warum und hatte nur etwas übersehen.
BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe trotzdem nochmal den Frage bei der Gateaux Differenzierbarkeit wird verlangt, dass alle partiellen Ableitungen existieren und die Abbildung stetig und linear ist.

Was bringt mir denn diese Bedingung genau? Verstehe nicht warum man das benötigt.

Heißt dass das dann alle partiellen Ableitungen auch stetig sind? Dann würde ja die Differenzierbarkeit folgen was mithin falsch ist.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gateaux Differenzierbarkeit
Zitat:
Original von BanachraumK_5
wie ich gerade im Königsberger gelesen habe ist doch normalerweise das Differential gegeben durch


Das gilt für eine Funktion wobei ein n-dimensionaler -Vektorraum ist.

Zitat:
Original von BanachraumK_5
Wieso ist denn das Differential nun gleich der partiellen Ableitung kann mir dass mal einer erklären ? Das sehe ich gerade nicht so ganz ein, es müsste doch eine Summe sein über die partiellen Ableitungen.


Das Differential an einer Stelle ist per Definition die lineare Abbildung, die

erfüllt, wobei der Rest stetig in ist und
.

Diese Definition ist OK für ein wobei und normierte -Vektorräume sind.

Zu deiner letzten Frage:
So wie ich das sehe hantierst du hier mit unendlichdimensionalen Räumen?
Dann muss man die Stetigkeit einer linearen Abbildung explizit fordern. Im endlichdimensionalen Fall ist alles was linear ist automatisch schon stetig.
Man will damit wohl erreichen dass man möglichst alle Eigenschaften kriegt die im endlichdimensionalen Fall auch gelten.
BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das Differential an einer Stelle ist per Definition die lineare Abbildung, die erfüllt, wobei der Rest stetig in ist und .


Yo oder halt

Das Differential in Richting des Vektors H ist dann auch ein Vektor der Form

je nachdem in welchen Vektorraum abgebildet wird.

Zitat:
So wie ich das sehe hantierst du hier mit unendlichdimensionalen Räumen? Dann muss man die Stetigkeit einer linearen Abbildung explizit fordern. Im endlichdimensionalen Fall ist alles was linear ist automatisch schon stetig. Man will damit wohl erreichen dass man möglichst alle Eigenschaften kriegt die im endlichdimensionalen Fall auch gelten.


Naja es ist in der Tat so dass diese Banachräume auch unendlich dimensional sein können.
Halt!
Nein das stimmt nicht, dass Differential ist doch nicht stetig nur weil linear oder ? Das Differential ist stetig genau dann wenn die partiellen Ableitungen stetig sind.

Beispielsweise gilt im endlichdimensionalen Fall falls stetig f stetig differenzierbar.

Zitat:
Im endlichdimensionalen Fall ist alles was linear ist automatisch schon stetig.

Ist falsch! Das wäre mir ja ganz neu dann müsste man in der Funktionalanalysis ja immer nur linearität zeigen. Man zeigt aber auch immer, erst wenn eine lineare Abbildung T dieses erfüllt ist sie auch stetig.


So ganz stimmig ist deine Argumentation nicht System Agent.
BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »

Edit:

Bei Operatoren die zunächst nur linear sind, genügt es gem. Dirk Werner die Stetigkeit in 0 zu beweisen und das gilt für alle normierten Räume auch für endlichdimensionale.
 
 
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von BanachraumK_5
Bei Operatoren die zunächst nur linear sind, genügt es gem. Dirk Werner die Stetigkeit in 0 zu beweisen


Es genügt Stetigkeit in einem beliebigen Punkt.
"Stetig", "Stetig in einem Punkt" und "Beschränkt" sind hier nämlich äquivalent.

air
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von BanachraumK_5
Zitat:
Im endlichdimensionalen Fall ist alles was linear ist automatisch schon stetig.

Ist falsch! Das wäre mir ja ganz neu dann müsste man in der Funktionalanalysis ja immer nur linearität zeigen. Man zeigt aber auch immer, erst wenn eine lineare Abbildung T dieses erfüllt ist sie auch stetig.


Ich habe ja explizit gesagt dass die Linearität die Stetigkeit impliziert nur wenn die betreffenden Räume auch endlichdimensional sind.

In der Funktionalanalysis hantiert man schliesslich vorwiegend mit unendlichdimensionalen Räumen.
BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich habe ja explizit gesagt dass die Linearität die Stetigkeit impliziert nur wenn die betreffenden Räume auch endlichdimensional sind. In der Funktionalanalysis hantiert man schliesslich vorwiegend mit unendlichdimensionalen Räumen.

Stimmt das wirklich ? Beweis ??

Und was ist denn mit dem Differential ? Das ist doch linear aber nicht unbedingt stetig ?
Das Differential ist stetig genau dann wenn die partiellen Ableitungen stetig sind.

Beispielsweise gilt im endlichdimensionalen Fall falls stetig f stetig differenzierbar.

Gilt die implikation (*) in meinem Fall nicht mehr ??
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von BanachraumK_5
Zitat:
Ich habe ja explizit gesagt dass die Linearität die Stetigkeit impliziert nur wenn die betreffenden Räume auch endlichdimensional sind. In der Funktionalanalysis hantiert man schliesslich vorwiegend mit unendlichdimensionalen Räumen.

Stimmt das wirklich ? Beweis ??


Sei also ein endlichdimensionaler, normierter -Vektorraum mit Basis und zugehörigen Koordinatenfunktionen und stetig, wobei auch ein normierter -Vektorraum ist.

Nehme zuerst die Maximumsnorm auf . Weil endlichdimensional ist sind alle Normen äquivalent, dh es gibt eine Zahl derart, dass .
Setze noch . Schreibe und man kriegt
.

Sei nun , wähle dazu . Falls dann , dann folgt
.

Also ist die lineare Abbildung sogar gleichmässig stetig.

Zitat:
Original von BanachraumK_5
Und was ist denn mit dem Differential ? Das ist doch linear aber nicht unbedingt stetig ?


Im endlichdimensionalen Fall schon.

Zitat:
Original von BanachraumK_5
Das Differential ist stetig genau dann wenn die partiellen Ableitungen stetig sind.


Soweit ich weiss stimmt die Äquivalenz so nur im endlichdimensionalen Fall. Aber da lasse ich mich gerne eines besseren Belehren.

Übrigens ist nicht die lineare Abbildung die "Differential" heisst. Das was du hier geschrieben hast ist zugehörige 1-Differentialform, die leider auch manchmal "Differential" heisst.
BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »

Halt, ich glaube ich habe das Mysterium gelöst: Hier liegt ein Verwechslung seines gleichen vor:

Wir nennen f Gateaux Differenzierbar, wenn alle Richtungsableitungen

existieren und die Abbildung stetig und linear ist.
Die zweite Bedingung besagt nun, dass ein stetiger linear Operator existiert, so dass


O.K. ?? Ich hoffe soweit alles richtig. Man darf hier wie System Agent bereits angemerkt hat nicht Differential mit Differential verwechseln. Mithin hat System Agent auch Recht, dass im mehrdimensionalen es genügen würde, wenn die Abbildung T linear wäre.

Ist nun die Abbildung stetig, dann sind auch die partiellen Ableitungen stetig und somit ist f stetig diffbar. mithin folgt dann, das f Frechet Diffbar ist.


Zitat:
Soweit ich weiss stimmt die Äquivalenz so nur im endlichdimensionalen Fall. Aber da lasse ich mich gerne eines besseren Belehren.

Also das gilt auch in unendlichdimensionalen Räumen, denn wenn stetig sein soll, müssen es auch die Richtungsableitungen sein. Behaupte ich jetzt einfach mal.


Mein großes Verständniss Problem lag darin das Mathematik Autoren es nicht für nötig halten Differential und Differential zu unterscheiden. Das ist Eitelkeit der Autoren!
BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »

Edit: Danke an System Agent für den Beweis im endlichdimensionalen, werde ich nochmal genau analysieren.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Mal als Hinweis:

Es ist ja schön, dass du "Edit:" schreibst. Aber zum Editieren benutze doch bitte auch den Edit-Button und keine neue Antwort. Ist viel sinnvoller Freude

air
BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wir nennen f Gateaux Differenzierbar, wenn alle Richtungsableitungen existieren und die Abbildung stetig und linear ist. Die zweite Bedingung besagt nun, dass ein stetiger linear Operator existiert, so dass



Hi kann mir nochmal einer sagen ob obige Aussage stimmt. Irgendwie leuchtet es mir immer noch nicht ganz ein warum stetig und linear sein soll.

Mein Verständnissproblem besteht darin, dass bei der Definition der partiellen diffb. im R^n, nie die Rede war vom Differential. Die Definition lautet ja:

Sei eine (nicht notwendig differenzierbare) Funktion in einer Umgebung U von a. Dann versteht man unter der Ableitung von f im Punkt a in Richtung eines Vektors im Existenzfall den Grenzwert:

. Falls f differenziebar ist gilt natürlich , aber im endlichdimensionalen wird nirgendswo gefordert, dass stetig sein muss ???

Irgendwie hab ich gerade ein bisschen den Durchblick verloren, wäre nett wenn sich nochmal jmd. die Zeit nimmt.
BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich lese gerade noch, dass im Falle der Gateaux-differenzierbarkeit die Gateaux-Ableitung genannt wird ??

Nach meiner Logik müsste doch aber die "partielle" bzw. Gateaux-Ableitung sein.

Im endlichdimensionalen http://de.wikipedia.org/wiki/Differenzie...erenzierbarkeit
ist doch auch nur gefordert dass die Richtungsableitung existiert und nirgendswo ist die Rede von ??
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