Menge der Polynomfunktionen - K-Algebra

19.06.2010, 14:48

Tina_und_Cathy

Menge der Polynomfunktionen - K-Algebra

Hallo,

wir sind es wieder und haben wieder eine aufgabe, die uns kopfschmerzen bereitet.

hier die aufgabenstellung:

Zitat:

Es sei K ein Körper und P(K) die Menge der Polynomfunktionen, also

$\begin{eqnarray*} P(K):=f:K->K,k->\sum\limits_{i=0}^n a_{i}k^i |n\in \mathbb N \cup {0}, a_i \in K, 0\leq i\leq n \end{eqnarray*}$
(seltsamerweise bekommen wir keine mengenklammern um die definition rum)

Zeige:

P(K) mit dem üblichen, punktweisen Produkt $\begin{eqnarray*} (f*g)(k)=f(k)*g(k), f,g\in P(K), k\in K \end{eqnarray*}$ ist eine K-Algebra

Wir wollten jetzt hier folgendes zeigen:

1) die Vektorraumaxiome gelten(sie heißen zwar nicht vektorraumaxiome, aber wir haben sie analog zu ihnen definiert)
2) Ringaxiome gelten
3) für $\begin{eqnarray*} a \in K, f,g\in P(K) \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} a*(f*g)=(a*f)*g=f*(a*g) \end{eqnarray*}$

nun fragen wir uns, ob wir, wenn wir das alles beweisen haben, alles erforderliche bewiesen haben, oder ob noch etwas fehlt.

Wäre das hier ein richtiger ansatz um beispielsweise zu beweisen, dass $\begin{eqnarray*} (r+s)*f=r*f+s*f , \forall r,s\in K, f\in P(K) \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} (r+s)*f=(r+s)*\sum\limits_{i=0}^n a_i *k^i = \sum\limits_{i=0}^n (r+s)*a_i*k^i =\sum\limits_{i=0}^n r*a_i*k^i +\sum\limits_{i=0}^n s*a_i*k^i =r*\sum\limits_{i=0}^n a_i*k^i +s*\sum\limits_{i=0}^n a_i*k^i =r*f + s*f \end{eqnarray*}$

oder darf man das gar nicht so machen?

wir danken euch schonmal im vorraus für eure hilfe smile

19.06.2010, 17:18

Elvis

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1. Mengenklammern in latex schreibt man \{ und so \} : $\begin{eqnarray*} \{ ... \} \end{eqnarray*}$
2. Eine K-Algebra ist ein K-Vektorraum, also muss man die Vektorraumaxiome zeigen, und die heissen Vektorraumaxiome.
3. Polynomfunktionen sind Funktionen, daher soll man die Argumente schreiben, dann ist alles in Ordnung. Im Beispiel sieht das links und rechts so aus :
$\begin{eqnarray*} \forall k\in K: (r+s)*f(k)=...=r*f(k)+s*f(k)\Rightarrow (r+s)*f=r*f+s*f \end{eqnarray*}$
4. "im voraus" schreibt man mit genau einem r

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