Singularitäten

19.06.2010, 12:54

zozo

Singularitäten

Hallo zusammen
ich hab eine kleine Aufgabe ,ich würde gern euch mir in Lösung teilnehmen

A1) Klassifizieren Sie die Singularitäten :

$\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{1}{z^2(z+1)}+\sin\frac{1}{z} \end{eqnarray*}$
meine Lösung ist

$\begin{eqnarray*} f_1(z)= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z^2(z+1)} \end{eqnarray*}$ hat ein Pol wenn $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ von 2. Ordnung und auch hat ein Pol wenn $\begin{eqnarray*} z=1 \end{eqnarray*}$ von 1. Ord.
$\begin{eqnarray*} f_2(z)=\sin\frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ hat ein Pol ,wenn $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$
aber meine Frage ist :wie kann man sagen ,über $\begin{eqnarray*} f(z)=f_1(z)+f_2(z) \end{eqnarray*}$ verwirrt

19.06.2010, 13:09

IfindU

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$\begin{eqnarray*} f_1(x) = \frac{x}{x+1}, f_2(x) = \frac{1}{x+1} \end{eqnarray*}$

Du siehst dass man darüber keine Aussage treffen kann. Und du meinst wohl bei z=-1 ein Pol. Du wirst die Beschränktheit des Sinus ausnutzen müssen, um für f eine Aussage zu treffen. Sonst bin ich mir mit Pol und Sinus nicht sicher, aber denke es ist vom Grad 1.

19.06.2010, 13:59

gonnabphd

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Zitat:

... Beschränktheit des Sinus ...

Nicht im Komplexen... geschockt

Zitat:

wie kann man sagen ,über $\begin{eqnarray*} f(z)=f_1(z)+f_2(z) \end{eqnarray*}$

... wie ist eine Polstelle k-ter Ordnung definiert? Daraus folgt dann gleich die Antwort auf deine Frage.

19.06.2010, 14:01

GastMathematiker

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RE: Singularitäten

Zitat:

Original von zozo

$\begin{eqnarray*} f_2(z)=\sin\frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ hat ein Pol ,wenn $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ (

Wieso sollte das der Fall sein???

19.06.2010, 14:06

IfindU

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Zitat:

Original von gonnabphd

Zitat:

... Beschränktheit des Sinus ...

Nicht im Komplexen... geschockt

, die Ausrede ich dachte das z stände nur spaßeshalber als Variable zählt nicht oder? Augenzwinkern

19.06.2010, 14:09

zozo

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ich zeige dir die Def.
Eine isolierte Singuliertät von f heißt
(i) Pol ,falls $\begin{eqnarray*} \lim_{z\to a}\vert f(z)\vert=\infty \end{eqnarray*}$

19.06.2010, 14:21

GastMathematiker

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Zitat:

Original von zozo
ich zeige dir die Def.
Eine isolierte Singuliertät von f heißt
(i) Pol ,falls $\begin{eqnarray*} \lim_{z\to a}\vert f(z)\vert=\infty \end{eqnarray*}$

An wen war das jetzt gerichtet, ich kenne die Definition! Aber denk anhand dieser Definition nochmal über meinen letzten Post nach.

19.06.2010, 15:10

gonnabphd

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Zitat:

Original von GastMathematiker

Zitat:

Original von zozo
ich zeige dir die Def.
Eine isolierte Singuliertät von f heißt
(i) Pol ,falls $\begin{eqnarray*} \lim_{z\to a}\vert f(z)\vert=\infty \end{eqnarray*}$

An wen war das jetzt gerichtet, ich kenne die Definition! Aber denk anhand dieser Definition nochmal über meinen letzten Post nach.

@GastMathematiker: Das war wohl an mich gerichtet.

@zozo: Eigentlich wollte ich etwas hören wie:

... heisst Polstelle k-ter Ordnung, wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{z \to a} (z-a)^k f(z) \end{eqnarray*}$ existiert und k minimal gewählt wurde.

Daraus folgt dann gleich, wie man die Ordnungen der Polstellen einer Funktion $\begin{eqnarray*} f(z) = f_1(z) + f_2(z) \end{eqnarray*}$ zu bestimmen hat.

Zitat:

, die Ausrede ich dachte das z stände nur spaßeshalber als Variable zählt nicht oder? Augenzwinkern

Zumindest kreativ wäre es ja... smile

19.06.2010, 18:05

zozo

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19.06.2010, 18:13

gonnabphd

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Zitat:

... wirklich? Ist das wirklich alles?! unglücklich

Da macht helfen doch richtig Spass...

Zitat:

... heisst Polstelle k-ter Ordnung, wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{z \to a} (z-a)^k f(z) \end{eqnarray*}$ existiert und k minimal gewählt wurde.

Daraus folgt dann gleich, wie man die Ordnungen der Polstellen einer Funktion $\begin{eqnarray*} f(z) = f_1(z) + f_2(z) \end{eqnarray*}$ zu bestimmen hat.

Damit meinte ich natürlich: Wie man die Ordnungen der Polstellen von f aus den Ordnungen der Polstellen von f_1 und f_2 bestimmen kann.

Zu dem Hinweis von GastMathematiker muss man glaube ich auch nichts mehr sagen.

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