Eigenwert, Eigenvektor, Eigenraum

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Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwert, Eigenvektor, Eigenraum
Hallo!

Ich verzweifle gerade total bei der Aufgabe unglücklich

[attach]15245[/attach]
bitte drauf klicke, für größere Ansicht.

Ich habe bereits die Eigenwerte ausgerechnet, das ist die Menge {-1, 2} wobei jede Nullstelle eine doppelte ist. Das sollte eigentlich auch richtig sein.

Nun wollte ich die Eigenräume über die EIgenvektoren ausrechnen, aber damit komme ich gar nicht zurecht. Ich habe sogar schon 2 verschiedene Möglichkeiten ausprobiert, aber nichts klappt.

1.) Ich habe eine Matrix aus den v1-v4 gebastelt und davon die Einheitsmatrix*Nullstelle abgezogen. Mit der neue Matrix habe ich dann ein homogenes Gleichungssystem aufgestellt und wollte sie lösen, aber wenn ich das mit der Nullstelle -1 mache, kommt da überall 0 raus. Das kann ja nicht sein.

2.) Ich habe mein x dargestellt als x= k_1v_1 + ... + k_4_v_4. Dann habe ich die phi daraufangewandt. Ich habe dann also immer k_1*(v_1)phi usw. wobei phi auf die v's angwandt ja in der Vor. schon definiert ist.
Dann habe ich ausmultipliziert und die V's ausgeklammert.

Alles was vor v_1 steht, soll ja k_1 sein, da es aber die Nullstelle -1 ist, soll es -k_1 sein. So geht das mit den anderen auch und dann habe ich ein Gleichungssystem:
-k_1 = -2k_1 + k_2 + 2k_3 - 6k_4
-k_2 = -7k_1 + 6k_2 + 8k_3 - 3k_4
-k_3 = 3k_1 - 3k_2 - 4k_3 - 3k_4
-k_4 = 2k_4

Wenn ich das löse komme ich auf x = k_1(v_1 + v_2) und somit den Eigenraum <v1 + v2> für die Nullstelle -1

Wenn ich das nun aber mit der Nullstelle 2 versuche, klappt nix mehr. Da kommt immer raus, k_2 = k_2, k_3 = k_3 usw. Das hilft ja nicht.

Kann mir da bitte, bitte jemand weiterhelfen?? Ich habe schon zig Zettel mit Umformungen vollgeschrieben, aber nichts passt. Vielleicht habe ich ja auch beim Gedankengang schon einen Fehler gemacht?


Zu der Dimension habe ich leider auch gar keine Idee, falls das jemand weiß, wäre es auch super. Aber vorrangig brauche ich Hilfe bei den Eigenräumen, denn das wurmt mich richtig ...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwert, Eigenvektor, Eigenraum
1. Bitte stelle die Abbildungsmatrix bzgl. der Basis (v1,v2,v3,v4) auf.

2. Bestimme die Eigenwerte (hast du ja wohl schon)

3. [Artikel] Eigenwerte und Eigenvektoren
 
 
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Meins du mit Abbildungsmatrix



?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Die Transponierte davon. In den Spalten müssen die Bilder der Basisvektoren stehen.
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, danke!

Ich habe dann schon mal die ersten Schritte aus dem Artikel durchgeführt und bin nun bei:

=

Ich kann leider deinen nächsten Schritt im Artikel nicht nachvollziehen.
Also das bei dir x_2 und x_3 frei wählbar sind sehe ich, aber wie du dann auf die Werte kommst, ist mir leider nicht klar.

Ich bin auch nicht ganz sicher, wie das mit der Schreibweise zu verstehen ist. Darf ich einfach in der linken Matrix umformen wie sonst auch, also Zeilen abziehen usw?

Und x_4 ist dann schon mal 3 oder?
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

ALso wenn ich umformen darf, dann komme ich auf



Daraus musste dann folgen: x_1 = x_2, x_3 = 0 = x_4. Somit <1,1,0,0>
Das deckt sich ja auch mit dem, was ich mit der anderen Rechnung raus hatte.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du darfst umformen. Du löst doch im Prinzip nur ein LGS.
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kenn nur die Schreibweise nicht so, deshalb war ich etwas irritiert *g*

Und für die Nullstelle 2 habe ich raus: <0,-2,1,0>.

Kann man irgendwie überprüfen, ob das stimmt?

Hat die Aufgabe denn jetzt "nur" 2 Eigenräume?

Vielen Dank schon mal für deine Antwort!!!!!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Probe machen Big Laugh Matrix mal die bestimmten Vektoren.
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

PS: Bei deinem Artikel ist ja auch eine Seite zum nachprüfen dabei, die spuckt jetzt aber aus:

Eigenvektor zu Eigenwert -1:
(1; 1; 0; 0)
Eigenvektor zu Eigenwert -1:
(1; 1; 0; 0)
Eigenvektor zu Eigenwert 2:
(0; -2; 1; 0)
Eigenvektor zu Eigenwert 2:
(-7; -10; 0; 3)

Kann man wirklich 2 identische Eigenvektoren haben, und wie kommt man bloß auf den 4.? Mir ist nicht klar, wie man 2 verschiedene Eigenvektoren haben kann, die Rechnung ist doch immer die gleiche, wenn ich den Eigenwert nicht ändere.


Ausserdem bin ich jetzt grad irritiert, was der Eigenraum ist, denn <1,1,0,0> ist ja nur der Eigenvektor und nicht der Eigenraum oder?
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Probe machen Big Laugh Matrix mal die bestimmten Vektoren.


Meinst du die bis zum Ende umgeformte Matrix? Und dann soll 0 rauskommen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte (bei 4x4 Matrix) sogar 4 verschiedene EV zu einem Eigenwert haben.

code:
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A:=matrix(4,4,[-2,1,2,-6,-7,6,8,-3,3,-3,-4,-3,0,0,0,2]);
                          [-2     1     2    -6]
                          [                    ]
                          [-7     6     8    -3]
                     A := [                    ]
                          [ 3    -3    -4    -3]
                          [                    ]
                          [ 0     0     0     2]

> R1 := linalg[eigenvals](A);

                          R1 := -1, 2, -1, 2

> R0 := linalg[eigenvects](A);

  R0 := [2, 2, {[0, -2, 1, 0], [-7/3, -10/3, 0, 1]}],

        [-1, 2, {[1, 1, 0, 0]}]



Das Skript von Brünner gibt aus

code:
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charakteristisches Polynom:
  x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4

reelle Eigenwerte:   { -1 ;  -1 ;  2 ;  2 }

Eigenvektoren:

 zum doppelten Eigenwert -1:
   [ 1 ; 1 ; 0 ; 0 ]

 zum doppelten Eigenwert 2:
   [ 0 ; -2 ; 1 ; 0 ]
   [ -7 ; -10 ; 0 ; 3 ]


Alle Proben mit den gefundenen Eigenvektoren OK


Passt doch alles. Der Eigenraum zu -1 ist eben eindimensional. So what? smile
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Also habe ich die Eigenräume: < (0 ; -2 ; 1 ; 0 ), ( -7 ; -10 ; 0 ; 3 )> und <1,1,0,0>??
Aber wie man auf ( -7 ; -10 ; 0 ; 3 ) ist mir ein Rätsel!!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Aber wie man auf ( -7 ; -10 ; 0 ; 3 ) ist mir ein Rätsel!!


Wie bist du denn dann auf den anderen Vektor gekommen? Das LGS ist für 2 unterbestimmt. Augenzwinkern
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin ja auf keinen anderen gekommen unglücklich

Für -1 habe ich durch die Matrix errechnet <1,1,0,0> und für -2 habe ich <0,-2,1,0>. Dann ist mein LGS durch meine Matrix gelöst.

Aber scheinbar ja nicht ... ich weiß nur nicht, warum nicht bzw wo mein Fehler liegt.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du mir deine Rechnung nicht zeigst. unglücklich
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry *g*

Also für die Nullstelle 2 habe ich folgendes gemacht:

(Also die Abbildungsmatrix abzgl 2 auf der Diagonalen)

das habe ich dann umgeformt zu (oder brauchst du die Zwischenschritte?)



Wegen der dritten Zeile weiß ich dann x_{4} = 0.
Ausserdem kann ich x_{2} oder x_{3} frei wählen. Da habe ich dann x_{3} = b gesetzt und bekomme dann raus x_{2} = -2b und x_{1} =0. Damit habe ich dann den Aufspann <0,-2,1,0>
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich mach das jetzt mal selbst.

code:
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>> LGSmitGauss
 
Es wird ein LGS Ax=b mit Gaussalgorithmus gelöst
Es wird eine obere Treppenmatrix mit 1ern berechnet.
 
Matrix A eingeben: A= [-4,1,2,-6;-7,4,8,-3;3,-3,-6,-3;0,0,0,0]
Vektor b eingeben: b= [0;0;0;0]
 
 
Durchgang 1 
===========
 
pivot = -4 
 
Zeile 2 - -7 * Zeile 1 
 
Zeile 3 - 3 * Zeile 1 
 
Zeile 4 - 0 * Zeile 1 
 

A =

    1.0000   -0.2500   -0.5000    1.5000
         0    2.2500    4.5000    7.5000
         0   -2.2500   -4.5000   -7.5000
         0         0         0         0


b =

     0
     0
     0
     0

 
Durchgang 2 
===========
 
pivot = 2.25 
 
Zeile 3 - -2.25 * Zeile 2 
 
Zeile 4 - 0 * Zeile 2 
 

A =

    1.0000   -0.2500   -0.5000    1.5000
         0    1.0000    2.0000    3.3333
         0         0         0         0
         0         0         0         0


b =

     0
     0
     0
     0


Also 2 freie Parameter.
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, es gibt 2 Zeilen mit Nullen, habe mich beim ersten Eintrag der Matrix vertan *argh*

Aber wie mache ich nun weiter? ich steh grad auf dem schlauch? verwirrt
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sagte doch, nimm 2 Paramter. Idee!
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Das hab ich versucht aber irgendwie ....

1.0000 -0.2500 -0.5000 1.5000
0 1.0000 2.0000 3.3333
0 0 0 0
0 0 0 0

Ich habe x_3 = b und x_4 = d gesetzt

Aber irgendwie habe ich dann gerade eine Blockkade im Kopf

1.0000 -0.2500 -0.5000b 1.5000d
0 1.0000 2.0000b 3.3333d


4.0000 -1 -2 b 1.5 d
0 1 2.b 3.3333d

Wenn ich die Zeilen addiere komme ich auf 4 0 0 4,83333d --> d= -24/29

Stimmt das so? Sieht irgendwie komisch aus, ich hab grad echt nen Knoten im Kopf ... ich weiß grad echt nicht mehr, wie das geht geschockt
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

code:
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2:
3:
4:
5:
6:
7:
A =

    1.0000   -0.2500   -0.5000    1.5000
         0    1.0000    2.0000    3.3333
         0         0         0         0
         0         0         0         0


x3=s, x4=t

x2 = -2s-10/3t

x1 = 0.25x2+0.5x3-1.5x4 = 0.25(-2s-10/3t)+0.5s-1.5t

Ausrechnen und man hat alles in Anhängigkeit von s und t. Dann wie hie rhttp://www.matheboard.de/thread.php?postid=954150#post954150 (Eigenwert -2)
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt hat's wieder klick gemacht. Vielen Dank für deine Geduld *g*

Nun komme ich auch auf die Werte für die Nullstelle 2.


Muss ich denn bei der Nullstelle -1 auch auf 2 Werte kommen? Da geht meine Matrix nämlich so auf mit der eindeutigen Lösung.

Also habe ich die Eigenräume: < (0 ; -2 ; 1 ; 0 ), ( -7 ; -10 ; 0 ; 3 )> und <1,1,0,0>. Ist die Schreibweise so richtig?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Claudia105
Also habe ich die Eigenräume: < (0 ; -2 ; 1 ; 0 ), ( -7 ; -10 ; 0 ; 3 )> und <(1;1;0;0)>. Ist die Schreibweise so richtig?
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz vielen lieben Danke tigerbine, ich habs verstanden *freu*

Ich habe nur noch eine Frage. Für die Nullstelle -1 hat dieses Berechnungssystem ja zweimal den gleichen Vektor ausgerechnet. Muss ich auch auf 2 Weisen darauf kommen bzw. wieder 2 Parameter haben oder ist das immer so, wenn man eine doppelte Nullstelle hat, aber nur einen Eigenvektor, dass es den dann eben 2x gibt?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Also, das char. Polynom liefert die EW in ihrer algebraischen Vielfachheit. Dann stellt man die LGS auf. Die Dimension der zugehörigen Lösungsräume (Kerne der LGS) sind die geometrischen Vielfachheiten. Die sind kleiner-gleich der algebraischen Vielfachheit. Bei dem EW -1 ist hier das LGS zur Eigenraumbestimmung nur in einer Komponente unterbestimmt. Das ist alles. Augenzwinkern
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, dann nochmals DANKE DANKE DANKE!! Du hast mir echt super doll geholfen! Morgen werde ich mich dann mal an den Aufschrieb machen und gucken, ob ich das mit der Dim. des Teilraums hinbekommen.

Gute Nacht tigerbine smile
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Gute Nacht und weiterhin viel Erfolg. Wink
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich habe alles sauber aufgeschrieben und bin so weit ganz glücklich damit *g*

Fürs Verständnis habe ich aber noch 2 Fragen.

1.) Wie kann ich die Probe machen, dass die Eigenvektoren wirklich Eigenvektoren sind?

2.) Wie kann ich beweisen, dass es für die Nullstelle -1 nur einen Eigenvektor gibt?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

1. Matrix mal Vektor. was kommt raus

2. Das Lösen des LGS ist der Beweis.
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Also muss bei Abbilungsmatrix * Eigenvektor der Eigenvektor * Nullstelle rauskommen?
Ist das richtig?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst doch nur die Definition des EV überprüfen.
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Das meinte ich auch, nur halt nicht so schön ausgedrückt *g*

Kannst du mir auch bei der letzten Teilaufgabe helfen? Da habe ich leider nicht einmal einen Ansatz, wie ich die Dimension berechnen kann.
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