Lineare Abildungen Nr. 2 ^^

19.06.2010, 19:48	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abildungen Nr. 2 ^^ Guten Abend , meine Aufgabe sieht wie folgt aus : Aufgabe Wir betrachten die Vektoren $\begin{eqnarray} v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} v_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 16 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ im $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ - Vektorraum $\begin{eqnarray} \mathbb Q^2 \end{eqnarray}$ . Für welche rationale Zahl a gibt es eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} \Im \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \mathbb Q^2 \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \Im \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ ) = 1 , $\begin{eqnarray} \Im \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} v_2 \end{eqnarray}$ ) = 2 und $\begin{eqnarray} \Im \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} v_3 \end{eqnarray}$ ) = a. Meine Ideen Also wie die Abbildungsvorschrift aussieht ist ja leider nicht angegeben und ich vermute mal, dass man diese auch nicht unbedingt braucht. Lineare Abbildungen haben ja 2 Eigenschaften : 1. $\begin{eqnarray} \Im \end{eqnarray}$ ( v + w ) = $\begin{eqnarray} \Im \end{eqnarray}$ ( v ) + $\begin{eqnarray} \Im \end{eqnarray}$ ( w ) und 2. $\begin{eqnarray} \Im ( \lambda v ) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Im ( v ) \end{eqnarray}$ Jetzt habe ich diese ganzen Eigenschaften mal mit allen möglichen Vektoren und Vektorenkombinationen ausgeschrieben. Ich liste hier jetzt aber mal nur die auf, welche dann auch etwas mit meinem a zu tun haben : Mit $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_3 \end{eqnarray}$ : 1. $\begin{eqnarray} \Im ( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 16 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \Im ( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} ) + \Im ( \begin{pmatrix} 1 \\ 16 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Im ( \begin{pmatrix} 2 \\ 18 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = 1 + a 2. $\begin{eqnarray} \Im ( \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 16 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \lambda \Im ( \begin{pmatrix} 1 \\ 16 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Im ( \begin{pmatrix} \lambda \\ 16\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \lambda a \end{eqnarray}$ Mit $\begin{eqnarray} v_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_3 \end{eqnarray}$ : 1. $\begin{eqnarray} \Im ( \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 16 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \Im ( \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} ) + \Im ( \begin{pmatrix} 1 \\ 16 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Im ( \begin{pmatrix} 4 \\ 15 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ = 2 + a 2. $\begin{eqnarray} \Im ( \lambda \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \lambda \Im ( \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Im ( \begin{pmatrix} 3 \lambda \\ -\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} 2 \lambda \end{eqnarray}$ Ich könnte nun natürlich an einigen Stellen a oder auch $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ alleine darstehen lassen und dann mit dem Anderen gleichsetzen.Aber donn komme ich auf Auflösungsprobleme zu,welche ich nicht gelöst bekommen. Gibt es vielleiicht eine andere Variante oder ist dies die Richtung,welche man wählen muss?
19.06.2010, 20:22	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abildungen Nr. 2 ^^ Man weiß: $\begin{eqnarray} F(v_1)=1 \quad \text{und} \quad F(v_2) = 2 \end{eqnarray}$ jetzt versuch doch mal, $\begin{eqnarray} v_3 \end{eqnarray}$ als Linearkombination von $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_2 \end{eqnarray}$ darzustellen. Wenn du geeignete Koeffizienten $\begin{eqnarray} \alpha , \beta \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ gefunden hast, dann betrachte $\begin{eqnarray} F(v_3) = F(\alpha v_1 + \beta v_2) \end{eqnarray}$ Der Rest ist Verwendung von Additivität und Homogenität der Abbildung.
19.06.2010, 20:27	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
EDIT: @Mulder: Deine Antwort hatte ich beim Absenden noch nicht gesehen. Mein Beitrag bezieht sich also auf den von Reneee. ------------------- Das stimmt zwar alles, aber vor allem die Einführung von $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ bringt nichts, weil es sich ja wieder herauskürzt. Ich würde eher doch auf die Abbildungsvorschrift hinarbeiten. Diese kann man ja mit zwei Variablen, beispielsweise u, v leicht anschreiben: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} u & v \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = x' \end{eqnarray}$ Nun setze die zwei durch die Abbildung gegebenen Paare ein $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} u & v \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} u & v \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} = 2 \end{eqnarray*}$ ---------------------------------- Damit berechne u und v. Letztendlich folgt a, indem du den dritten Vektor in die nunmehr feststehende Abbildungsgleichung einsetzt [ 3 ]. mY+
19.06.2010, 21:02	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Dieses u und v kann ich berechnen und damit auch dann mein a. Die einzige Frage die ich noch habe ist warum du u und v da so vor hängst? Kann ich solche Werte ( ist ja jetzt praktisch die Abbildungsvorschrift richtig?) etwa immer so berechnen oder ist das nur etwas Spezielles hier in diesem Fall? Außerdem hatten wir bisher die Multiplikation von Vektoren noch nicht in der Vorlesung. ( konnte allerdings letzte Woche nicht zu einer Vorlesung, das Skript dazu bekomme ich erst morgen zu sehen , vielleicht irre ich mich also auch ^^) Jedenfalls hätte ich dann die Werte u = $\begin{eqnarray} \frac{5}{7} \end{eqnarray}$ v = $\begin{eqnarray} \frac{1}{7} \end{eqnarray}$ a = 3 Dieses a passt ja auch wundervoll zu den anderen beiden Zahlen. ^^ Vielen dank für die Hilfen bisher.
19.06.2010, 21:17	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen kann durch eine Matrix A beschrieben werden, so dass $\begin{eqnarray} F: V \to W \quad , \quad x \mapsto Ax \end{eqnarray}$ ist. Das heißt, du nimmst ein Element v aus V und multiplizierst es mit der Matrix und erhälst so das Bild von v unter F. Die Matrix A ist dann die Abbildungsmatrix (bezüglich vorher fest gewählter Basen von V und W). Wenn ihr das noch nicht hattet (das wird aber dann noch kommen), dann lege ich nochmal meinen Weg nahe, bei dem du all das überhaupt nicht benötigst, sondern wirklich nur stur die Linearität der Abbildung. Aber a=3 ist richtig.
19.06.2010, 21:40	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok diese Lösungsmöglichkeit habe ich nun verstanden und finde sie auch recht einfach. Bei deiner Lösungsmöglichkeit trete ich aber auf ein Problem : Erstmal $\begin{eqnarray} v_3 \end{eqnarray}$ als Linearkombination von $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} _2 \end{eqnarray}$ darstellen. $\begin{eqnarray} \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 16 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn ich meine erste Zeile nach $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ auflöse erhalte ich : $\begin{eqnarray} \alpha = 1 - 3 \beta \end{eqnarray}$ Wenn ich das einsetze und $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ berechne bekomme ich $\begin{eqnarray} \alpha = 7 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \beta = -2 \end{eqnarray}$ Nun setze ich also : $\begin{eqnarray} \Im ( \begin{pmatrix} 1 \\ 16 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \Im ( 7 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ Dadurch bekomme ich dann am Ende $\begin{eqnarray} \Im ( \begin{pmatrix} 1 \\ 16 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \Im ( \begin{pmatrix} 1 \\ 16 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ Aber wie ich da auf mein a kommen soll , ist mir bisher unschlüssig. Edit : Moment habe da gerade doch ne Idee gehabt , kommt gleich ^^ Edit 2 : Alles klar ich habs , hätte in der Klamme rechts nicht zusammenfassen dürfen , sondern 7 und -2 rausziehen , dann Abbildungen anweden und ausrechnen müssen. Eigentlich auch ganz logisch. Danke für eure Hilfe !
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