Integration sin^3cos^2 und sin^3cos^3

Neue Frage »

19.06.2010, 22:23	Blacks	Auf diesen Beitrag antworten »
*Integration sin^3cos^2 und sin^3cos^3* Guten Abend. Die Integration von $\begin{eqnarray} sin^3(x) cos (x) \end{eqnarray}$ habe ich durch partielle Integration lösen können. Allerdings bereiten mir nun $\begin{eqnarray} \int \! sin^3 (x)cos^2 (x) \, dx \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \int \! sin^3 (x)cos^3(x) \, dx \end{eqnarray}$ große Probleme. Die partielle Integration liefert mir weitere Integrale, die ich nicht ohne Weiteres lösen kann. Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte. Vielen Dank bereits im Voraus!
19.06.2010, 22:26	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Denke mal über eine gute Substitution nach. air
19.06.2010, 22:49	Blacks	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte schon überlegt cos (x):= s zu substituieren, aber das hat mich nicht zum Ziel gebracht. Wäre dies denn der richtige Ansatz?
19.06.2010, 22:55	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte gehofft, wenn du es versuchst, kommst du selbst drauf - aber auch $\begin{eqnarray} \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \end{eqnarray}$ könnte dir dann noch helfen. air
19.06.2010, 23:12	Blacks	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich substituiere also $\begin{eqnarray} s:= cos (x) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} x=arccos (x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} dx=\frac{-1}{\sqrt{1-s^2} } ds \end{eqnarray}$ . Dadurch ergibt sich das Integral: $\begin{eqnarray} \int \! sin^2 (arccos(s))s^2\frac{-1}{\sqrt{1-s^2}} \, ds \end{eqnarray}$ . Ich befürchte, dass bereits hier ein Fehler ist.
19.06.2010, 23:16	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja .. tatsächlich ist das nicht gerade geschickt. Sei $\begin{eqnarray} s := \cos x \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \frac{\dd s}{\dd x} = -\sin x \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \Rightarrow~ \dd x = \frac{\dd s}{-\sin x} \end{eqnarray}$ Und damit wird $\begin{eqnarray} \int~\underbrace{\sin^3 x}_{=\sin x \cdot (1-\cos^2 x)} \cos^2 x~\dd x = \int~\frac{\sin x}{-\sin x}\cdot (1-s^2)s^2~\dd s = \cdots \end{eqnarray}$ air
Anzeige

19.06.2010, 23:26	Blacks	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ich mir aussuchen, ob ich $\begin{eqnarray} \frac{ds}{dt} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \frac{dt}{ds} \end{eqnarray}$ bestimme, je nachdem was praktischer ist?
20.06.2010, 00:11	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du in deine Ableitung das 's' wieder einsetzst kommst du auf genau das selbe. Ansonsten: Nach der Substitution muss ja jedes 'x' substituiert worden sein. Dabei muss man aber aufpassen, dass man nicht jedes 'x' auf Teufel komm raus substituiert, sondern schaut, ob es sich u.U. mit dem Nachdifferenzieren kürzt (was oft ja gerade der Sinn der Substitution ist). Kommst du denn nun weiter? Für das zweite Integral hilft eine ganz ähnliche Substitution. Allgemeiner Tipp: Wenn im Integranden irgendwie eine Funktion und ihre Ableitung vorkommen ist Substitution meist ein guter Gedanke. Und Sinus u. Kosinus sind da ja generell gute Kandidaten (allerdings oft auch gute Kandidaten für partielle Integration). air
20.06.2010, 00:30	Blacks	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich konnte jetzt beide Integrale bestimmen und habe auch schon per Ableitung kontrolliert, dass sie stimmen. Die Frage, ob nun $\begin{eqnarray} \frac{ds}{dx} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \frac{ds}{dx} \end{eqnarray}$ fällt mir zwar noch ein wenig schwer nachzuvollziehen, aber ich kann es jedenfalls anwenden. Danke für die Hilfe zur späten Stunde!
20.06.2010, 00:37	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Es läuft letztlich darauf raus, ob du s=cos(x) oder x=arccos(s) substuierst, was im Grunde völlig egal ist, es ist nämlich dasselbe. air

Neue Frage »

Antworten »

Integration sin^3*cos^2 und sin^3*cos^3

Verwandte Themen

Integration sin^3cos^2 und sin^3cos^3