Winkel von Drehung aus Start- und Endpunkt berechnen ?

20.06.2010, 09:50

batesman

Winkel von Drehung aus Start- und Endpunkt berechnen ?

Hallo zusammen,

schlagt mich nicht wenn ihr es trivial findet, aber ich konnte keine Lösung finden.
Also zum Thema ...
Im Rahmen meiner Diplomarbeit bin ich auf folgende Formel gekommen.

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{Ap} &=\overrightarrow{Sp}+Rz_\gamma \cdot \left[ Ry_\beta \cdot \left( Rx_\alpha \cdot ( \overrightarrow{Kv_k}+n \cdot \overrightarrow{A{d}_k})\right)\right] \end{eqnarray*}$

Hierbei sind Start- und Endpunkt (also Sp und Ap) sowie die Vektoren vor der Drehung bekannt. Jedoch fehlen mir die beiden Winkel "Beta" und "Gamma" sowie die Länge "n" des zweiten Vektors.
Ich habe gedacht das dies ja drei Gleichungen mit drei unbekannten ergibt, aber so einfach isses wohl nicht.
Ich denke ich habe alle Varianten diesbezüglich durch und bin zu keinem sinnvollen Ergebniss gekommen.
Wahrscheinlich braucht man dazu einen ganz anderen Ansatz. Ich lese dauernd was von Quaternionen und so, aber kenne mich da gar nicht aus. Wenn mir jemand sagt " das geht genau damit" dann werd ich mich da natürlich einarbeiten. Aber im Moment steh ich aufm Schlauch

Danke schonmals

kurellajunior: Formel geändert um Keywort zu ersetzten

20.06.2010, 19:27

batesman

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RE: Winkel von Drehung aus Start- und Endpunkt berechnen ?
*Push*

Vielleicht noch der Hinweis das Rx, Ry und Rz die Drehmatrizen sind.
Da es bisher noch keine Antwort gab ...
Ist die Frage schon woanders beantwortet ? Prinzipiell geht es ja um die Frage
"Kann ich aus dem Endprodukt einer Drehung die Winkel zurückberechnen.
Ich brauch ja nur den Hinweis wie. Rechnen werd ichs schon selbst.

22.06.2010, 07:06

batesman

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RE: Winkel von Drehung aus Start- und Endpunkt berechnen ?
nochmal *push*

Also gut. Das ganz mal einfach gesagt und umformuliert.
Gibt es die Möglichkeit aus der Kenntniss eines Vektors vor und nach einer Drehung die Winkel zu berechnen ?

22.06.2010, 09:19

kurellajunior

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Also wenn mich meine Erinnerung nicht komplett täuschen, sollte Dir hier das Skalarprodukt weiterhelfen:

$\begin{eqnarray*} \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\phi \end{eqnarray*}$
Wiki

Allerdings ist das der Winkel zwischen zwei Vektoren - nicht zwingend der Drehwinkel um eine bestimmte Achse!

22.06.2010, 10:19

batesman

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Eben drum. Ich such aber die Winkel.
Im Prinzip dreh ich diesen zusammengesetzten Vektor aus $\begin{eqnarray*} \left( \overrightarrow{Kv}+n \cdot \overrightarrow{Av} \right) \end{eqnarray*}$ um einen anderen Vektor, den ich aber nicht kenne.
Daher erstmal die Drehungen um die Koordinatenachsen. Mit dem Ergebnis will ich dann genau diesen Vektor (also die Drehachse) suchen.
Wie mir das Skalarprodukt da weiterhilft kann ich nicht erkennen.

22.06.2010, 12:50

kurellajunior

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Ich bezog mich lediglich auf

Zitat:

Gibt es die Möglichkeit aus der Kenntniss eines Vektors vor und nach einer Drehung die Winkel zu berechnen ?

.

Aus Deinem ersten Post kann ich keinerlei Fragestellung ableiten.

Bitte beschreibe
die bekannten Elemente:

Problem:

Das, was ich verstanden habe ist:
Du hast zwei Vektoren und suchst den Drehwinkel und die Drehachse, die nötig sind um den einen Vektor in den anderen zu überführen. Das ist schlicht nicht eindeutig lösbar, da es unendlich viele Paare von Drehachsen und winkeln gibt, mit denen der eine Vektor in den andern überführbar ist. Also was ist Dein Problem?

22.06.2010, 12:52

Ehos

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Prinzipiell gilt folgendes:
Wenn man im 3D-Raum zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec y \end{eqnarray*}$ kennt, die durch eine Drehung D verbunden sind, also $\begin{eqnarray*} \vec y=D\vec x \end{eqnarray*}$ , so kann unendlich viele Drehung finden, die dies leisten. Das ist auch anschaulich klar.

Beispiel:
Gesucht ist eine Drehung, die den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec x=(1|0|0)) \end{eqnarray*}$ in den
$\begin{eqnarray*} \vec y=(0|1|0)) \end{eqnarray*}$ überführt.

Offenbar gibt es mehrere Möglichkeiten:

Man könnte z.B. um die z-Achse (0|0|1) mit dem Drehwinkel 90° drehen. Die Drehmatrix lautet dann

$\begin{eqnarray*} D=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} & 0 \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Man könnte aber auch um die Achse $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot (1|1|0) \end{eqnarray*}$ drehen, welche 45° schräg in der xy-Ebene liegt, drehen. Der Drehwinkel wäre dann 180° .

22.06.2010, 14:28

batesman

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Da hast du natürlich recht....... ABER.
Die (meine obenstehende) Formel bezieht sich ja auf die Standarddrehmatrizen um die jeweiligen Achsen wie auf Wikipedia beschrieben.
Wenn ich jetzt dein Bsp. nehme und mal ausser acht lasse daß das periodisch ist, bleibt mir nur die Drehung um die Z-Achse. Somit wäre das ganze doch eindeutig.
OK ich lass das Beiwerk mal weg und schreibs so $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{Vektor2}=Rz_\gamma \cdot \left[Ry_\beta \cdot \left(Rx_\alpha \cdot \overrightarrow{Vektor1} \right) \right] \end{eqnarray*}$ . Wobei $\begin{eqnarray*} Rx_\alpha \end{eqnarray*}$ sogar bekannt ist

@kurellajunior : Ehos hat genau so ein Beispiel gezeigt. Ich habe $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} $\overrightarrow{y} \end{eqnarray*}$ und brauche die Winkel mit der um die jeweiligen Achsen gedreht wurde.

22.06.2010, 14:52

batesman

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Vielleicht sollte ich noch hizufügen, das die Winkel für $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ kleiner als +/- PI/2 sind

22.06.2010, 15:00

Ehos

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Ok. Wenn du nur die Drehungen $\begin{eqnarray*} D_1,D_2,D_3 \end{eqnarray*}$ um Koordinatenachsen zulässt, (wobei die Reihenfolge nicht vertauscht werden darf), dann kann man bei vorgegebenen Vektoren x, y genau eine Drehmatrizenprodukt $\begin{eqnarray*} D_1 D_2D_3 \end{eqnarray*}$ finden, welches die Vektoren gemäß $\begin{eqnarray*} \vec y=D_1D_2D_3\vec x \end{eqnarray*}$ dreht (abgesehen von der Periodizität).

Um die Drehmatrix zu finden, fasse die Gleichung $\begin{eqnarray*} \vec y=D_1D_2D_3\vec x \end{eqnarray*}$ als Glecihungssystem für die unbekannten Drehwinkel auf.

22.06.2010, 15:08

batesman

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Ja, das hab ich schon probiert. Leider bekomme ich oder ein CAS keine Umstellung hin, bei der das ganze eindeutig wird. Es läuft nach ewig langen Umstellungen darauf hinaus, das ich dann z.B. $\begin{eqnarray*} \sin_\gamma= \end{eqnarray*}$ ..... $\begin{eqnarray*} \cdot cos_\gamma \end{eqnarray*}$ da stehen habe.
Das ist ja mein Problem. Da hab ich schon etliche Stunden drann rumgerechnet.

22.06.2010, 17:03

Ehos

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Probiere es mal wie folgt: Angenommen, du hast die beiden Vektoren y, x gegeben, die durch eine Drehung verbunden sind, also y=Dx. Dann kann man das auf 1 normierte Kreuzprodukt $\begin{eqnarray*} \vec n=\frac{\vec x \times \vec y}{|\vec x \times \vec y|} \end{eqnarray*}$ als Drehachse interpretieren und den Winkel zwischen beiden Vektoren als Drehwinkel, also $\begin{eqnarray*} \cos(\phi)=\frac{\vec x \cdot \vec y}{|\vec x |\cdot |\vec y|} \end{eqnarray*}$ . Das ist anschaulich klar. Wenn man Drehachse und Drehwinkel hat, kann man die Drehmatrix D leicht angeben (Siehe unter "Drehmatrix" bei WIKIPEDIA). Du sucht eine Produktdarstellung

$\begin{eqnarray*} D=D_1D_2D_3 \end{eqnarray*}$

Die drei Matrizen $\begin{eqnarray*} D_1,D_2,D_3 \end{eqnarray*}$ , deren Drehwinkel $\begin{eqnarray*} \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \end{eqnarray*}$ sich auf die Koordinatenachsen beziehen, findest du ebenfalls bei WIKIPEDIA. Durch Vergleich der 9 Matrixelemente auf beiden Seiten der obigen Gleichung kann man die 3 Drehwinkel $\begin{eqnarray*} \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \end{eqnarray*}$ leicht finden. Etwas Rechnung ist natürlich dabei.

22.06.2010, 18:14

batesman

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Hey, das klingt mal nicht schlecht.
Das werd ich mal austesten. Vermutlich aber erst Donnerstag oder Freitag. Aber ich geb auf jeden Fall mal Feedback

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Winkel von Drehung aus Start- und Endpunkt berechnen ?

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