algebraische strukturen

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loveandpeace Auf diesen Beitrag antworten »
algebraische strukturen
Meine Frage:
Hallo,
ich habe ein prolem. Meine Lehrerin hat mir eine Augabe gestellt. Ich soll bis Donnerstag die algebraischen Strukturen verstehen und dann eine Willkürliche Aufgabe an der Tafel lösen.
Ich habe mir in meinem Mathematikbuch die Seiten, die sich damit befassen scho genau durchgelesen. Doch leider weiß ich beim besten Willen nicht wie ich die Aufgaben lösen soll unglücklich
Wie soll ich zum Beispiel beweisen, dass das Verknüpfungsgebilde
(Q,o ,??) mit den Verknüpfungen
a o b = a + b + 1 und a ?? b = a + b + ab
ein Körper ist.
Bitte helft mir, ich weiß wirklich nicht mehr weiter.

Meine Ideen:
Ich vermute mal, dass ich zuerst überprüfen muss ob die additiven Eigenschaften ( also das Assoziativgesetz, Kommutativgesetz usw) zutreffen.
Aber wie soll ich das jetzt konkret machen ? ?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: algebraische strukturen
Welche Axiome müssen denn erfüllt sein, damit es ein Körper ist.
loveandpeace Auf diesen Beitrag antworten »
RE: algebraische strukturen
Erstmal dankeschön für die schnelle Antwort

Also wenn a+(b+c)= (a+b)+c a.(b.c)=(a.b).c
a+b=b+a a.b=b.a
wenn es ein neutrales element gibt, dass ist bei der addition 0 und bei der multiplikation 1
es existiert ein multiplikativer bzw additiver Invers also -a mit (-a)+a=0 bzw a^-1 mit a^-1.a=1
und (a+b).c=c.(a+b) (a+b).c= a.c+b.c

das sind hald mal die Eigenschaften. Die sind mir eigendlich ganz logisch weil ich sie bei anderen Rechenoperationen auch brauche. Aber wie erkläre ich das im Bezug auf mein Beispiel?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: algebraische strukturen
Fang mit der Assozitativität an, du musst zeigen:
a o (b o c) = (a o b) o c.

Setz nun für das o die Definition der Verknüpfung ein und sieh ob sie übereinstimmen. Falls ja hast du die additive Assozitiativität gezeigt, wenn nicht hast du gezeigt, dass es ein Körper ist. So musst du alle Eigenschaften durchgehen.
loveandpeace Auf diesen Beitrag antworten »
RE: algebraische strukturen
meinst du das jetzt so :
a+(b+1)= (a+b)+1
a.(b.1)= a.b+1a
(a.b).1= 1a. 1b

dann stimmbt das assoziativgesetzt für die additiven Eigenschaften (a+b)+c=a+(b+c)
aber das multiplikative Assoziativgesetz stimmbt nicht (a.b).c=a.(b.c)
???
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: algebraische strukturen
Ich zeig dir mal die erste Eigenschaft:

Damit ist die neue Verknüpfung auch assoziativ.

Editiert mit schönerer Verknüpfung. Danke Arthur.
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Meine LaTeX-Vorschläge sind eher für den Additions- und für den Multiplikationsoperator, d.h.

und . smile


Man kann sich die Sache erheblich vereinfachen, wenn man erkennt, dass mit der Translation folgt

und .
loveandpeace Auf diesen Beitrag antworten »
RE: algebraische strukturen
also muss ich am Anfang immer ausprobieren ob die Verknüpfungen assoziativ sind ?
also bei meiner aufgabe können a b und 1 ihre Stellung wechseln aber das Ergebnis bleibt gleich. also sind sie assoziativ. & das ist ein Zeichen dafür das mein Verknüpfungsgebilde mit den Verknüpfungen ein Körper ist ?
loveandpeace Auf diesen Beitrag antworten »

ich komme mir mit meinen Fragen scho wirklich dumm vor, aber ich bin in Mathe einfach keine Leuchte (;

bei a+b ist doch einfach b+a aber woher kommt auf einmal die 1 ? ich versteh das einfach nicht ?
Ich weiß schon das das meine Angabe ist, aber ich kann doch nicht einfach schreiben a+b= a+b+1 oder ?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Die neue Verknüpfung o ist ja dadurch definiert dass es die 2 Elmente a und b nimmt, und sie auf die Summe ihrer Elemente ("normale Verknüpfung, die man so kennt, wo 1+1 noch 2 ergibt Augenzwinkern ) und addiere zusätzlich noch 1.
loveandpeace Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ich glaub jetzt hab ichs. ;D
also wird bei der Verknüpfung o einfach a und b zusammengezählt und 1 addiert.
das ist dann die erste verknüpfung aber was ist mit der zweiten?
und woher weiß ich jetzt ob das ein Körper ist .
Das ist mir irgendwie alles so unlogisch traurig traurig
Ist das jetzt ein Körper? weil ich kann ja a b und 1 die plätze tauschen lassen und es kommt immer das gleiche heraus . das ist doch das assoziativgesetz und das trifft zu. oder ?? Big Laugh
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst die Verknüpfungen einzeln nachprüfen, Assoz. hab ich ja bereits für dich übernommen. Versuche aber in Worte zu fassen was das Assoziativgesetz will:
Er will 3 Sachen Verknüpfen - erst die ersten 2, und das Eregebnis möchte er wieder verknüpfen und das bitte das gleiche sein als ob ich erst die beiden hinteren verknüpfe und das Ergebnis mit derm Ersten.


Eine andere Verknüpfung:

Da prüfen wir mal Assoziativ nach:



Die beiden sind nicht gleich, es hängt davon ab was ich zuerst ausrechne.
Also ist während ergibt. Das wars mit der Schönheit dass 1+1 immer 2 ergeben muss Augenzwinkern
loveandpeace Auf diesen Beitrag antworten »

also könnte ich das so an die tafel schreiben :
a o b = a+b+1
(a o b) o 1 = (a+b) o 1 = a+b+1
a o (b o 1)= a o (b+1) = a+b+1
Beide haben das gleiche Ergebnis daraus folgt, dass das Assoiativgesetz gilt.

und bei der zweiten Verknüpfung ist das selbe nur dass ich statt 1 ab dort stehen habe und ein anderes Symbol? oder muss ich das Assoziativgesetzt nocheinmal machen? und steht ab jetzt für a*b oder ist ab einfach stellvertretend für c ? weil bei der angabe steht kein Mal dazwischen.

Bin ich mit diesem Beweis dann scho fertig ? Weil das kommutativgesetzt kann ich doch nur anwenden wenn ich a+b=b+a habe oder ?
oder muss ich auch noch zeigen dass a+b+1=b+a+1=1+a+b ist ?
aber das ist dann doch logisch, da wenn keine klammer vorhanden ist und es nur um eine addition geht die reihenfolge der zahlen bzw buchstaben egal ist .
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
a o b = a+b+1
(a o b) o 1 = (a+b) o 1 = a+b+1
a o (b o 1)= a o (b+1) = a+b+1


Die zweite Zeile stimmt schon nicht. wenn a o b = a+b+1 ist, kann da nicht stehen a o b = a+b. Genausowenig ist b o 1 = b +1, sondern b + 1 + 1.Und du sollst das nicht mit 1 machen sondern mit c, damit du es für alle gezeigt hast und nicht nur für a,b und 1.

Und Kommutativität musst du natürlich einzeln zeigen. Es muss so lauten: , jetzt musst du "nur" noch ergänzen was ... ist.
loveandpeace Auf diesen Beitrag antworten »

hm okey .
also steht o in dem Beispiel a o b einfach für 1 ?
und ich schreibe a o b = a+b+1 -> (a+b)+1=a+(b+1)
dann hab ich die assoziativität bewiesen
und allgemein mache ich dann a o b = a+b+c -> (a+b)+c= a+(b+c)

und wenn es um eine substitution geht dann wäre es kein körper, da (a-b)-c nichtgleich a-(b-c) ist

aber ich verstehe nicht wie ich das anderen erklären sollte.
Es ist doch eigendlich ganz logisch, dass man bei einer Rechenoperation mit + die buchstaben vertauschen kann und das Ergebnis gleich bleibt.
a+b=b+a das ist doch ganz logisch

und kurzumgesagt steht bei a o b = a+b+1 das o für 1
und bei a x b = a+b+ab steht das x für ab oder ??
und wenn ich dann zu meiner Lehrerin sage, dass ich, wenn ich wissen will ob es sich um einen Körper handelt, zuerst überprüfen muss ob das assoziativgesetz zutrifft (also dass ich die klammern setzen kann wie ich will und das ergebnis trotzdem gleich bleibt ) und ob das kommutativgesetzt zutrifft ( dass ich die zahlen untereinander tauschen kann und das ergebnis gleich bleibt)
bei den algebraischen strukturen muss ich doch einfach erklären wie ich darauf komme ob das ein körper ist oder nicht ??
und bei meiner gestellten aufgabe ist das verknpüfungsgebilde mit den verknüpfungen doch ein körper oder ?
ich verstehe nicht wie ich das den anderen beibringen soll, da es doch nur darum geht den anderen zu erklären wann es ein körper ist oder ?
Und das neutrale element ist bei einer addition immer 0 das ist auch logisch und bei einer multiplikation immer 1 ..
und wenn meine lehrerin mir jetzt ein beispiel stellt und ich ihr sage das das ein körper ist und ich ihr die eigenschaften eines körpers erkläre habe ich dann die aufgabe scho gelöst oder muss ich das rechnerisch auch beweisen ?
und wie kann ich das am besten beweisen ?
ich verstehe das ganze prinzip nicht traurig

ich glaube du wirst mit mir noch verzweifeln weil ich die aufgabe echt nicht kapiere .
kannst du mir nicht einfach beweisen das das ein körper ist und kurz und knapp erklären wie du auf diesen schluss kommst ???
es ist ja nicht so dass ich dieses beispiel frage und mir dazu keine gedanken mache. das auf keinen fall da ich von meiner Lehrerin sowieso eine andere aufgabe bekomme und die aufgaben kapieren muss ;D
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerallerst das wichtigste: Verknüpfungen sind keine Zahlen! Eine Verknüpfung ist eine Gebrauchsanweisung was mit Zahlen gemacht sollen. + ist die normale Verknüpfung, 1+1 = 2, 5+7= 12 usw. und darauf bezieht sich . Es sagt nehme 2 Zahlen, a und b, und verbinde sie auf folge weise, addiere sie mit der normalen Addition zusammen und pack noch eine 1 oben drauf. : wäre sie so definiert, wäre sie identisch mit der normalen Addition.

Zitat:
und ich schreibe a o b = a+b+1 -> (a+b)+1=a+(b+1)
dann hab ich die assoziativität bewiesen

Damit hast du nichts bewiesen. Du musst zeigen, dass folgendes gilt a o (b o c) = (a o b) o c, denn das ist die Definition des Assoziativgesetzes.

Zitat:
Es ist doch eigendlich ganz logisch, dass man bei einer Rechenoperation mit + die buchstaben vertauschen kann und das Ergebnis gleich bleibt.
a+b=b+a das ist doch ganz logisch

In der Mathematik ist nur logisch, was bewiesen ist. a+b=b+a folgt aber aus den Axiomen, die normale Addition erfüllt dies, aber für musst du es noch zeigen: Gegenbeispiel ist alles andere ist kommutativ (aber assoziativ).

Zitat:
Und das neutrale element ist bei einer addition immer 0 das ist auch logisch und bei einer multiplikation immer 1 ..

Das trifft auf das normale Plus und Mal zu, aber bei deinen zwei Verknüpfungen stimmt das nicht, wenn du die beiden Richtigen herausfindest, wirst du evtl. verstehen was Arthur mit der Verschiebung meinte. Du suchst ein b, so dass und ein c, sodass für alle a aus deinem Körper gilt.

Wenn du nicht so ein gutes Auge wie Arthur und so viel Erfahrung hast (ich leider auch nicht), wirst du nicht darum herum kommen, sämtliche Axiome nachzuprüfen, und sie sagen dir genau was du zeigen musst.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@IfindU

Ich ziehe meinen obigen Tipp auch zurück: Nicht weil er falsch ist, sondern weil hier offenbar erst mal ganz andere Verständnisprobleme zu lösen sind, wobei du einen bewundernswerten Job leistest. Freude
loveandpeace Auf diesen Beitrag antworten »

mein problem ist aber, dass ich nicht weiß wie ich das nachprüfen soll .
ich meine wie kann man den beweisen dass a o (b o c) = (a o b) o c ist ?? ich verstehe das einfach nicht
loveandpeace Auf diesen Beitrag antworten »

ich bin auch echt dankbar, dass du dir solch eine Mühe mit mir gibst
aber das ganze thema ist für mich so neu und ich weiß einfach nicht wie ich damit umgehen soll
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

@Arthur
Danke, aber jag mir nicht immer so eine Angst ein, jedesmal wenn du nach mir antwortest krieg ich Panik irgendwelchen Stuss erzählt zu haben. Augenzwinkern Muss übrigens zugeben, deinen Post hab ich auch erst verstanden als ich die neutralen Elemente gesucht hab Prost

@loveandpeace
Schau mal im 6. Post, dort steht der komplette Beweis bereits. Im Prinzip lautet die Vorgehensweise: ersetz erstmal alle neuen Verknüpfung durch die altbekannte. In der Form kannst du damit rumspielen wie du willst, denn bei +,* gelten bereits alle Körperaxiome.
Nun hab ich bei dem Beweis alles in eine Zeile gepackt, für dich würde ich empfehlen erstmal a o (b o c) komplett aufzulösen. Die Klammer sagt dir dass du erstmal b o c auflösen musst, und das daraus kommt dann mit a verknüpfst (bzw a mit dem was da raus kommt, Kommutativität gilt aber deswegen wäre es in dem Fall egal). Und dann löst du (a o b) o c auf, diesmal zuerst a o b und das verknüpfst du dann mit c. Jetzt musst du nur noch überprüfen, ob die beiden gleich sind. Falls ja, dann ist die Assoziativität gezeigt.
loveandpeace Auf diesen Beitrag antworten »

6.post ??? (;
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

algebraische strukturen
loveandpeace Auf diesen Beitrag antworten »

achso - schon kapiert ;D
aber wenn ich das jetzt an die tafel schreiben muss und dazu reden sollte wei kann ich das dann in worten erklären ?
und so hab ich die assoziation bewiesen- also wenn ich diese zeile kann dann hab ich mein ergebnis ??
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab über die Gleichheitszeichen geschrieben, weswegen ich es so umformen darf. Versuch dich mal an der multiplikaten Assoziatitvität (Achtung: Ist "schwerer", da man dort multiplizieren muss.)
loveandpeace Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaub ich kann das gleich vergessen unglücklich
ich versteh das ganze prinzip nicht .
ich mein die Eigenschaften die ich überprüfen muss die kenn ich ja aber wie ich diese überprüfe geht mir einfach nicht in den Kopf.
Es sieht alles so einfach aus aber für mich ist das total unlogisch
meine Lehrerin hat zu mir gesagt das dieses Thema eigendlich einfach ist und ich gut damit zurechtkommen müsste .
naja bis donnerstag habe ich noch zeit. Vielleicht geht mir bis dahin ein Licht auf, sonst hab ich ein problem Big Laugh
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »




Im ersten Schritt ersetze die erste Verknüpfung, also die die dank Klammern vorrang hat.
loveandpeace Auf diesen Beitrag antworten »

oh mein gott .
ich glaube ich habs .!!
das assoziativgesetzt ist einfach a o (b o c)
dann muss ich einfach für a o b = a+b+1 einsetzen . und für b o c = b+c+1 oder ?
und für das kommutativgesetz
einfach (a*b)*c = (a+b+1)*c= (a+b+1)+(c+1)= (a+1)+(b+c+1)= a*(b+c+1)= a*(b*c)
stimmbt das ?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von loveandpeace
das assoziativgesetzt ist einfach a o (b o c)
dann muss ich einfach für a o b = a+b+1 einsetzen . und für b o c = b+c+1 oder ?

Im ersten Schritt stimmt das, wenn du jetzt noch die zweite Verknüpfung ersetzt, hast du es fertig aufgelöst und beide Glecihungen müssen das gleiche sein
Zitat:
und für das kommutativgesetz
einfach (a*b)*c = (a+b+1)*c= (a+b+1)+(c+1)= (a+1)+(b+c+1)= a*(b+c+1)= a*(b*c)
stimmbt das ?

Das ist das additive Assoziativgesetz Vollständig und Richtig, aber nicht das Kommutativgesetz.
loveandpeace Auf diesen Beitrag antworten »

also hoab ich aber das assoziativgesetz ganz fertig und richtig gelöst ?
das ist ja schonmal ein erfolgserlbnis für mich (;
hmm und wie kann ich beweisen, dass das kommutativgesetz auch zutrifft ?
a*b=b*a
a+b+1=1+b+a aber das ist ja dann schon wieder kein beweis

und kurz zu meinem Beispiel, dass ich ganz am Anfang gepostet habe..
da steht ja a o b = a+b+1 .. und um zu beweisen das das ein Körper ist kann ich einfach das hinschreiben :
(a o b) o c = (a+b+1) o c= (a+b+1)+(c+1)= (a+1)+(b+c+1)= a o (b+c+1)=
a o (b o c) und dann hab ich das bewiesen ??
und bei a*b= a+b+ab das gleiche und nur statt 1 ab ???
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig und
Zitat:
a*b=b*a
a+b+1=1+b+a aber das ist ja dann schon wieder kein beweis


Ist praktisch ein Beweis, auch wenns ganz streng genommen a*b =b*a <=> a+b+1 = b+a+1 heißen müsste. Schöner wäre a*b = a+b+1 = b+a+1=b*a, weil alles in einer Gleichung steht, aber deins ist genauso richtig. Natürlich müsstest du noch argumentieren, warum aus a+b+1 = b+a+1 folgt.
loveandpeace Auf diesen Beitrag antworten »

könnte ich da zum beispiel sagen
aus a+b+1 folgt logischerweise b+a+1 , da man bei der addition die Faktoren beliebig verschieben kann, da zum beispiel 1+2=3 und 2+1=3
wäre das dann richtig argumentiert ;D
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Jop, du kannst sagen dass die Verknüpfung + kommutativ ist und es deswegen direkt folgt.
loveandpeace Auf diesen Beitrag antworten »

also habe ich die Aufgabe gelöst indem ich sage, dass es ein Körper ist, weil
(a o b) o c = (a+b+1) o c= (a+b+1)+(c+1)= (a+1)+(b+c+1)= a o (b+c+1)=
a o (b o c) also das assoziativgesetz zutrifft da man bei (a+b+1)+(c+1) die klammern willkürlich vertauschen kann, da diese bei einer addition keine rolle spielen zum Beispiel : a=1 b=2 und c=3 .. (1+2+1)+(3+1)= 8 und (2+3+1)+(1+1)=8

dann sage ich noch, dass auch das kommutativgesetz zutrifft, da
a o b= a+b+1= b+a+1= a o b
und die gleiche Begründung wie oben
habe ich dann das ganze beispiel schon gelöst ?
also mit der zweiten verknüpfung muss ich das auch noch alles machen das ist mir schon klar aber im großen und ganzen wäre das alles ? Big Laugh Big Laugh Big Laugh Big Laugh
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du das auch noch mit der zweiten Verknüpfen machst, hast du 4 Eigenschaften nachgeprüft, fehlen noch 6. z.B. Distributivgesetz, Neutrale, Inverse usw.
loveandpeace Auf diesen Beitrag antworten »

aber das nachprüfen bei der zweiten Verknüpfung funktioniert genau gleich wie bei der ersten oder ? nur das ich hald statt dem 1 ein ab habe ?
hm das Distributivgesetz geht dann so :
a*(b o c)= a*b o a*c
aber das ist voll schwer zu prüfen.
da kann ich nicht so verfahren wie bei den anderen . da ist ja was ganz anderes gefragt.
und beim neutralen element da brauche ich doch nur a o b= a+b+1 schreiben und dann einfach sagen, dass es bei der addition ein neutrales element gibt und das ist 0 . da 1+0 = 1 ..
und der invers ist einfach die negation zu jedem Faktor ??
loveandpeace Auf diesen Beitrag antworten »

und muss ich bei meiner aufgabe eigendlich das distributivgesetz beweisen ?
ich habe ja gegeben
a o b = a+b+1 und a*b= a+b+ab
da kann ich doch eigendlich nur das assoziativgesetz und das kommutativgesetz für die additiven eigenschaften prüfen ..
beim distributivgesetz brauche ich ja additive und multiplikative strukturen und bei meiner aufgabe sind nur additive ?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

a*(b o c) =
(a*b) o (a*c) =

Spiel wie eben, fasse erstmal b o c zusammen bei der ersten mit der Summenverknüpfung und das Ergebnis verknüpfe mit der multiplikativen.
Beim zweiten anders rum, da verknüpfst du multiplikativ erstmal a und b, sowieso a und c, und die Ergebnisse verknüpfst du mit der Addition.

Zitat:
und beim neutralen element da brauche ich doch nur a o b= a+b+1 schreiben und dann einfach sagen, dass es bei der addition ein neutrales element gibt und das ist 0 . da 1+0 = 1 ..

Das ist falsch, deswegen erwähne ich es so oft:

Du musst also das wirkliche neutrale suchen, mit dem a verknüpft wieder a ergibt.

Edit:
In deiner Notation müsste man natürlich a?? (b o c) = (a??b) o (a??c) prüfen.
loveandpeace Auf diesen Beitrag antworten »

ah okey . das leuchtet mir ein (; danke
also ist das neutrale element a o -1= a+1-1= a daraus folgt das -1 das neutrale element ist (;
aber bei dem distributivgesetz kommt mir nicht das richtige raus Hammer
ich habe a*(b o c)= (a*b) o (a*c)
a*(b o c) = a o (b+c+1)= a +(b+c+1)+ab
(a*b) o (a*c)= (a+b+ab) o (a+c+ac)= a+b+ab+a+c+ac+1
aber das ist dann nicht das gleiche ;D
aber ich glaube das ich mit dieser rechnung auch schon wieder falsch liege unglücklich
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

a o (b+c+1)= a +(b+c+1)+ab

Dieser Schritt ist falsch, erstmal muss da natürlich das mal stehen und nicht o, und zweitens der letzte Summand ist nicht ab sondern a(b+c+1), das erste mal das zweite Argument.

Aber das neutrale additive stimmt nun, kannst nun auch das neutrale multiplikative bestimmen.
loveandpeace Auf diesen Beitrag antworten »

achsoo . a(b o c) = a(b+c+1) =a*b+ a*c +a*1
aber das stimmbt dann doch auch nicht mit a*b+a*c überein .
oke das additive invers ist dann a o (-a-1) = a+1-a-1 =0 das bedeutet, das -a-1 das additive invers ist . ?
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