Rotationskörper-Volumen

20.06.2010, 17:40	Martina_Gast	Auf diesen Beitrag antworten »
Rotationskörper-Volumen Hallo allerseits! Ich habe hier eine Klausuraufgabe und die Lösung liegt vor. Edit: Bitte keine Links zu externen Hostingseiten, sondern Bilder direkt im Board hochladen. system-agent Das Problem ist, wir bekommen die Antwort gar nicht, weil eben ein Teil der Lösung völlig unklar ist. Es wurde allerdings eine Umkehrfunktion x(y) genommen, aber wie diese zusatande kam, kann ich nicht erklären. Es geht um einen beschränkten Bereich bei x=[0;2], und die f(x,y)= - (x-2)^2+10 f(x,y)= (x-2)^2+2 Es muss das Volumen des Rotationskörpers um die y-Achse ausgerechnet werden. Lösung wird duch Cavalieri Prinzip gegeben, wobei hier nur die Hälfte der Symm-Körper integriert wurde, dwg 2.pi. Einsatzformel: Volumen = $\begin{eqnarray} \pi \cdot \int_a^b \! (g(z)^2 - f(z)^2) \, dz \end{eqnarray}$ Immer wenn ich die Umkehrfunktionen von den oben genannten zwei, habe ich das Problem, dass die Steigung weiterhin positiv bleibt. Ich bitte euch um Hilfe, um die rotgekennzeichnete Funktion nachvollziehen zu können. Danke, Danke, Danke Gruß Martina
20.06.2010, 23:55	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Rotation um die y-Achse MUSS selbstverständlich die Umkehrfunktion x = f(y) eingesetzt werden, denn es gilt dabei allgemein $\begin{eqnarray} V_y = \pi \int x^2 \dd y \end{eqnarray}$ Im Lösungsvorschlag wurde mit der UNTEREN Funktion $\begin{eqnarray} y(x) = (x - 2)^2 + 2 \end{eqnarray}$ gerechnet, daher gibt es dort die y-Grenzen von 2 bis 6. Übrigens trifft die Bezeichnung dieser Funktion mit f(x,y) nicht zu, es müsste heissen nur f(x) oder y. Die Umkehrfunktion zu ermitteln, ist, die Gleichung nach x umzustellen: $\begin{eqnarray} y = (x - 2)^2 + 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x - 2 = \pm \sqrt{y - 2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = 2 -\sqrt{y - 2} \end{eqnarray}$ Das in Frage kommende Vorzeichen der Wurzel muss negativ sein, denn sonst sind die Funktionswerte (x) nicht im Bereich für x von 0 bis 2. So, das kommt jetzt in das Integral zur Auswertung ... Bemerkung: Die Guldinische Regel erfordert die Fläche und deren Schwerpunkt. Das Rotationsvolumen kannst du jedoch ohne Weiteres mittels der beschriebenen Vorgangsweise berechnen. mY+
21.06.2010, 08:41	Martina_Gast	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Erklärung! Genau das Vorzeichen war eben das Problem.... Ich muss sagen unglaublich, schulisches Niveau... Die Aufgabe habe ich gelöst mit Schwerpunkt-Ermittlung, dh mit Wissen aus der Technischen Mechanik, was für die Klausur unzulässig und gefährlich ist, weil ein neues Koordinatensystem einzuführen ist, kann auch fehlerhaft sein... Aber so ein dummer Fehler, habe ich von mir nicht erwartet... Danke nochmal!

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