Untervektorrum und Dimension von Quotientenraum

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Reneee Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorrum und Dimension von Quotientenraum
Guten Abend, ich sitze vor folgender Aufgabe :
( Diese Aufgabe wird schon in einem anderem Thread bearbeitet, aber ich hätte doch ganz gerne meinen Eigenen ^^ )

Aufgabe

Wir betrachten den reelen Vektorraum V = [X] . Zeigen Sie, dass U = { f V | f (-1) = f (0) = f (1) = 0 } ein Untervektorraum ist und geben Sie die Dimension des Quotientenraumes V/U an!

Meine bisherigen Ideen

Das mit dem Unterraum ist ok. Es geht mir hier also nur noch um den zweiten Augfgabenteil.

Da habe ich als Definition bisher aufgeschrieben :
dim ( V/U ) = dim ( V ) - dim ( U )

Die Dimension eines Vektorraumes ist ja gleich der Kardinalität ihrer Basis. Also:

card ( ) = card ( ) - card ( )

Aber wie sieht denn die Basis eines Polynomringes aus? Vielleicht hat sie eine Darstellungsform als Standartbasis? verwirrt
Die müsste ja eigentlich unendlich groß sein oder?Genauso wie die Basis von Unterraum U.

In U sind ja nur alle Polynome größer dritten Grades.
Das heißt V hat sozusagen 3 Elemente mehr in seiner Menge an Elementen.
Kann man darus irgendwie ableiten, dass die Basis auch 3 Vektoren mehr hat als U und damit die Differenz halt 3 ist`Dementsprechend halt dim ( V/U ) = 3
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorrum und Dimension von Quotientenraum
Da der andere Thread etwas schleppend verläuft, ist das mit dem zweiten Thread OK.
Trotzdem ganz wichtig: Standartabweichung? - Standardabweichung! Lehrer

Dein VR ist leider unendlichdimensional und insofern wirst Du mit der Dimensionsformel nicht weiterkommen. Auch so was wie "3 Elemente mehr" ist dann nicht sehr sinnvoll, denn was ist ?

Zitat:
In U sind ja nur alle Polynome größer dritten Grades.

So rum ist das falsch, denn zum Beispiel .
Richtig ist: "In U sind ja nur Polynome größer dritten Grades."

Deine Idee mit der Dimension drei ist aber richtig. Versuch doch mal, eine Basis für V/U aufzustellen - beweisen kann man das dann z.B. darüber, dass sie maximal linear unabhängig ist.
Wichtig ist es auch, sich ein Vorstellung davon zu machen, wie die Elemente von U überhaupt aussehen. Probier mal dafür eine allgemeine Form zu finden.

Gruß,
Reksilat.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorrum und Dimension von Quotientenraum
Zitat:
Original von Reksilat
Richtig ist: "In U sind ja nur Polynome größer dritten Grades."


x^3-x ist doch drin, oder?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorrum und Dimension von Quotientenraum
Stimmt. Sorry, "größer gleich" muss es heißen.
Danke. smile
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Also U ist ja dann nur noch

mit den besagten Nullstellen etc.

Das mit der Basis ist echt hart irgendwie. verwirrt

In meinem Vorlesungsskript habe ich das hier gefunden

( Hom ( ) ) = dim ( Mat ( m x n , K ) ) = n m

Wobei Mat( m x n , K ) wohl diese Basis ist.

Wie ich aber auf diese Basis komme, habe ich bisher noch nicht so ganz verstanden.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also U ist ja dann nur noch
mit den besagten Nullstellen etc.

U ist ein Vektorraum, also insbesondere eine Menge. Das was da steht, ist keine Menge.

Und das was Du im Script gefunden hast, ist hier auch nicht anwendbar. Wie gesagt, der VR ist unendlichdimensional.
Vielleicht solltest Du erst mal nach einer Basis von suchen.
 
 
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

U = { f = | f ( -1 ) = f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0 }

So schöner? ^^

Mein Problem ist ja eben, dass ich nicht weiß, wie man nach einer Basis " sucht " .
Zumindestens nicht bei einem solchen Polynomring.
Die Vektoren müssen ja max. lin. unab. sein und ein min. Erz-Sys. sein.

Beim wäre ja zum Beispiel die Standardbasis.
Das leuchtet mir auch ein, aber ich schaffe es irgendwie nicht mir eine Basis für einen Polynomring vorzustellen. unglücklich



ps : Ich bin nun auch sozusagen wieder am Anfang. Denn eben wegen dieser Frage, wie die Basis eines Polynomringes aussieht bin ich ja hier. X_X
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Reneee
U = { f = | f ( -1 ) = f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0 }

So schöner? ^^

Nee, denn da ist ja dann zum Beispiel nicht mehr drin.
Außerdem hat ein Polynom nur endlich viele Summanden, die Summe sollte also nicht bis unendlich gehen.

Bezüglich der Basis:
Such Dir doch mal möglichst einfache Polynome, mit deren Hilfe man jedes andere Polynom darstellen kann. Allein die Darstellung sollte da helfen.
Als Tipp: ist drin und ebenfalls...

Gute Nacht! Schläfer
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Ok als Basis für V würde ich dann nehmen :

= { 1 , x , , ... , }

Und für U dan :

= { , , ... , }

Hierbei sehe ich ja nun, dass die Mächtigkeit oder Karidnalität ( wo isn da der Unterschied? verwirrt ) von

= + 3

ist.

Kann ich dann vielleicht daraus folgern, dass die Dmension ihres Quotientenraumes 3 ist?
Denn
V/U
bedeutet ja sprachlich
V ohne U.

Und wenn ich aus der Basis von V alle Einträge der Basis von U rausziehe, bleiben mir nur noch 3 übrig.
Somit beträgt die Kardinalität der Basis nur noch 3 und die Dimension ist somit 3.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht so schnell. Zuerst mal ist Deine Basis von V nicht komplett, denn damit lässt sich ja etc. nicht erzeugen. Wie schon mehrfach geschrieben ist Dein VR unendlichdimensional, das heißt, dass auch die Basis unendlich viele Elemente hat.
Mit der Dimensionsformel kannst Du also nicht arbeiten. Punkt.

Die Basis für U ist außerdem auch falsch. Wie kommst Du überhaupt darauf? Kein einziger der Vektoren liegt in U. Das habe ich auch oben schon angesprochen und außerdem solltest Du Dir zumindest mal ein paar Vektoren suchen, die auch tatsächlich in U liegen, um eine Vorstellung von diesem UR zu bekommen.
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Ok was auf jedenfall in U liegt ist zum Beispiel die Kombination

(x+1)(x)(x-1) =

Wenn ich nun noch mehr suche, kann ich ja wieder diese Form (x+1)(x)(x-1) nehmen und da jetzt immer weitere Klammern dran verknüpfen wie ich will.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig! Freude
In U liegen genau die Polynome, die von geteilt werden. Das liegt einfach daran, dass durch die Nullstelle 0 immer auch ein Teiler des Polynoms sein muss, durch die Nullstelle 1 ist ein Teiler und durch die Nullstelle -1 auch .

Nun ist die Frage, wie wir die Nebenklassen bzgl. U allgemein ausdrücken können. Nehmen wir zum Beispiel das Polynom . Dann ist doch . (Denn )

Ein ziemlich einfacher Vertreter für ist also . Die Frage ist nun, wie man für jedes beliebige Polynom einen möglichst einfachen Vertreter in finden kann, bzw. welche Form dieser dann hat.
Stichwort: Polynomdivision.

Gruß,
Reksilat.
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