Uneigentliches Integral Aufgabe

20.06.2010, 19:10

Physinetz

Uneigentliches Integral Aufgabe

Grüß Gott,

habe kurz eine Frage zu folgendem Uneigentlichen Integral:
$\begin{eqnarray*} \int_1^\infty \! \frac{ln(x)}{x²} \, dx \end{eqnarray*}$

Wäre ja:
$\begin{eqnarray*} \int_1^\infty \! \frac{ln(x)}{x²} \, dx = [-\frac{ln(x)}{x} +\frac{1}{x}]^\infty _1 = \lim_{\beta \to \infty } [-\frac{ln(x)}{x} +\frac{1}{x}]^\beta _1 \end{eqnarray*}$

Und jetzt steh ich grad auf dem Schlauch, was ich hier für einen Grenzwert erhalte?

Es wäre ja dann obere Grenze:

$\begin{eqnarray*} \lim_{\beta \to \infty } (-\frac{ln(\beta )}{\beta } +\frac{1}{\beta } ) \end{eqnarray*}$

Untere Grenze wäre 1

Aber was für die obere Grenze rauskommt weiß ich nicht, dort habe ich ja beim vorderen Teil des Ausdrucks " minus unendlich geteilt durch unendlich" und hinten wäre 1/unendlich , also praktisch 0. Die Regel von l'Hospital kann ich ja nicht anwenden weil im Zähler minus unendlich steht und im Nenner plus unendlich...

Hat jemand einen Tipp?

Gruß Physinetz

20.06.2010, 19:15

Cel

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Du darfst l'Hospital anwenden, denn der Grenzwert sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} \lim_{\beta \to \infty}~-\frac{\ln(\beta)}{\beta} = -\lim_{\beta \to \infty}~\frac{\ln(\beta)}{\beta} \end{eqnarray*}$

Konstanten darf man vor den Limes ziehen. Jetzt steht da $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ im Grenzwert.

20.06.2010, 19:25

corvus

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RE: Uneigentliches Integral Aufgabe

Zitat:

Original von Physinetz
Grüß Gott,

habe kurz eine Frage zu folgendem Uneigentlichen Integral:
$\begin{eqnarray*} \int_1^\infty \! \frac{ln(x)}{x²} \, dx \end{eqnarray*}$

Wäre ja: geschockt

$\begin{eqnarray*} \int_1^\infty \! \frac{ln(x)}{x²} \, dx = [-\frac{ln(x)}{x} +\frac{1}{x}]^\infty _1 \end{eqnarray*}$

..................................... nein, das ist falsch
.

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