Bernoulli-DGL umformen

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20.06.2010, 19:26	-Heiko-	Auf diesen Beitrag antworten »
Bernoulli-DGL umformen Meine Frage: Hallo allerseits, Ich brauche etwas Hilfe bei einer Aufgabe. Hier der Aufgabentext: Formen Sie die Bernoulli-DGL 3y²y'+y³ =t+1 in eine lineare DGL um und ... Da es mir nur um den 1. Teil der Aufg geht, breche ich sie hier ab. Ich habe also ein Problem mit der Umformung. Woran erkenne ich denn nun was dem a(t) oder dem p(t) entspricht? Vielen Dank, -Heiko- Meine Ideen: Ich weiß dass die allg Form einer Bernoulli DGL so lautet: y'-a(t)y=p(t)yn. In einem anderen Fall war mir sofort klar was z.B. dem a(t) entspricht. Aber bei der oben genannten DGL weiß ich überhaupt nicht wie ich sie in diese Form bekommen soll. y?n wird wohl y³ sein?
20.06.2010, 19:47	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun ja ... forme doch mal nach y' um. Dann muss rechts irgendwo ein y stehenbleiben. Das, was beim y dabei steht, ist dein a(t). Wenn ich richtig umgeformt habe, ist hier a(t) konstant. Schreib deine Schritte hier auf und wir vergleichen.
21.06.2010, 00:31	-Heiko-	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß ja leider nicht wie ich unformen muss. y'*3y+y³ = t + 1 Soll nun alles außer y' auf die rechte Seite?? Danke dir, -Heiko-
21.06.2010, 10:35	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Im 1.Beitrag schreibst du, dass deine Dgl lautet $\begin{eqnarray} y' \cdot 3y+y^3=t+1 \end{eqnarray}$ __________(1) Im 2.Beitrag schreibst du, dass die Dgl. lautet $\begin{eqnarray} 3y^2y'+y^3=t+1 \end{eqnarray}$ __________(2) Ich nehme mal an, die Version (2) stimmt. Dann ergibt Division durch $\begin{eqnarray} 3y^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y'+\frac {1}{3}\cdot y=\frac{t+1}{3}\cdot y^{-2} \end{eqnarray}$ __________(3) Dies ist eine sog. Bernoullische Dgl., welche allgemein lautet $\begin{eqnarray} y'-f(t) \cdot y=g(t) \cdot y^{n} \end{eqnarray}$ __________(4) Der Vergleich von (3) und (4) zeigt die Struktur der Funktionen f(t) und g(t) $\begin{eqnarray} f(t)=-\frac{1}{3} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(t)=\frac{t+1}{3} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n=-2 \end{eqnarray}$ Allgemein kann man die Bernoullische Dgl. (4) in eine lineare Dgl. umwandeln, indem man eine neue Funktion $\begin{eqnarray} z=y^{1-n} \end{eqnarray}$ einführt. Speziell im Fall (3) lautet diese neue Funktion wegen n=-2 $\begin{eqnarray} z(t)=y^{3} \end{eqnarray}$ ________also______ $\begin{eqnarray} y(t)=\frac{z}{y^2} \end{eqnarray}$ _____________(5) Ableiten ergibt $\begin{eqnarray} z'(t)=3y^2y' \end{eqnarray}$ ________also________ $\begin{eqnarray} y'=\frac{z'}{3y^2} \end{eqnarray}$ ____________(6) Setzt man die jeweils letzten Gleichungen aus (5), (6) in (3) ein, ergibt anschließende Multiplikation mit $\begin{eqnarray} 3y^2 \end{eqnarray}$ die gesuchte lineare Dgl. für z(t) $\begin{eqnarray} z'+z=t+1 \end{eqnarray}$ __________(7) Die Lösungen z(t) von (7) kannst du leicht finden. Die Lösung der ursprünglichen Gleichung (2) ergibt sich durch Rücksubstitution gemäß (5), also $\begin{eqnarray} y(t)=\sqrt[3]{z(t)} \end{eqnarray}$
21.06.2010, 11:50	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
@Ehos Bitte auch hier keine Komplettlösungen !
22.06.2010, 18:14	-Heiko-	Auf diesen Beitrag antworten »
Ethos, ich danke dir für deine ausfürhliche Anleitung. Ganz toll von dir!! 2 Fragen hätte ich aber: - Warum ist z'=3y²y' und nicht einfach 3y² ?? - Wann ist y (oder z) von t abhängig und wann nicht? Mal heißt es y(t) und dann wieder nur y. Außerdem komme ich leider am Ende nicht weiter. Setzt man wirklich nur y und y' in die umgeformte DGL ein und löst nach Rücksubstitution nach y auf?? Vielen vielen Dank!!
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23.06.2010, 09:13	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Antwort auf deine Fragen: ----------------------------------- Frage 1: Warum $\begin{eqnarray} z'=3y^2y' \end{eqnarray}$ und nicht einfach $\begin{eqnarray} z'=3y^2? \end{eqnarray}$ Antwort 1: Wir haben die neue Funktion $\begin{eqnarray} z(t)=y^3 \end{eqnarray}$ eingeführt. Das ist eine "verkettete" Funktion mit der "inneren" Funktion $\begin{eqnarray} y(t) \end{eqnarray}$ und der "äußeren" Funktion $\begin{eqnarray} (...)^3 \end{eqnarray}$ . Die Ableitung der inneren Funktion lautet y'. Die Ableitung der äußeren Funktion lautet $\begin{eqnarray} 3(...)^2 \end{eqnarray}$ . Wie man aus der Schule wissen sollte, ist die Ableitung einer verketteten Funktion das Produkt beider Ableitungen, also $\begin{eqnarray} z'=y' \cdot 3(...)^2=y'\cdot 3y^2 \end{eqnarray}$ . --------------------------------------- Frage 2: Wann ist y (oder z) von t abhängig und wann nicht? Antwort 2: y=y(t) ist die Lösung deiner Dgl., also ist y(t) überall von t abhängig. Das gleiche gilt für z=z(t), denn z(t) ist ja laut Substitution die 3.Potenz von y(t), also $\begin{eqnarray} z(t)=y^3(t) \end{eqnarray}$ . Nur der Kürze wegen schrieb ich manchmal y und z.
23.06.2010, 17:10	-Heiko-	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß was eine verkette Funktion ist und ja, das hatten wir sicher auch irgendwann mal in der Schule. Aber ich erkenne einfach nicht, warum eine Funktion z = y^3 eine verkette Funktion ist. Bisher habe ich y^3 immer zu 3y^2 abgeleitet, genau wie y^4 zu 4y^3 usw. Wenn mir da noch mal jemand erklären könnte woran ich da den Unterschied erkenne? Und am Ende wird wirklich nur y und y' in die umgeformte DGL eingesetzt und nach Rücksubstitution nach y aufgelöst?? Vielen vielen Dank!!
24.06.2010, 09:28	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn y eine "normale" Variable wäre, dann wäre die Ableitung von y³ nach y natürlich 3y². In unserem Fall hängt die Variable y aber von einer neuen Variablen x ab, also y=y(x). Dann ist die Funktion y³(x) eine verkettete Funktion mit der inneren Fubktion y(x) und der äußeren Funktion (...)³. Diese verkettete Funktion soll (im Gegensatz zu oben) nicht nach y differenziert werden, sondern nach x. Das ergibt mit Kettenregel 3y²y', wobei der Strich hier die Ableitung nach x bezeichnet. Würde man verkettete Fuktion y³(x) nach y ableiten, ergäbe sich natürlich das gleiche Ergebnis wie oben, nämlich 3y². Es hängt also davon ab, nach welcher Variablen man die Funktion y³(x) differenziert.
26.06.2010, 15:57	-Heiko-	Auf diesen Beitrag antworten »
Na toll, als ich dachte ich hätte es endlich kapiert, da bekome ich doch das falsche Ergebnis raus. Ich habe mittlerweile die Lösung bekommen und nach dieser soll rauskommen: y³ = t + Ce^(-t) Ich habe mich nun noch mal an der Lösung von Ethos orientiert. Bis zum Schritt (6) kann ich es nachvollziehen. Ich habe nun die DGl in Form einer Bernoulli DGL und habe z substituiert und abgeleitet und jewweils nach y oder y' umgestellt. Doch was mache ich dann? Irgendwie muss ich das doch nun in die DGL einsetzen? Bitte helft mir auf das Ergebnis zu kommen, ich werd hier noch wahnsinnig -Heiko-

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