Ungleichung

20.06.2010, 20:00

IfindU

Ungleichung

Hallo zusammen,

ich habe hier eine Analysis Aufgabe, zu der ich kaum Ideen hatte, und die die ich hatte brachten nichts:

$\begin{eqnarray*} \text{(a) Man zeige: Es seine } x_j > 0, j=1,...,n \text{ und es sei } q=(x_1 \cdot ... \cdot x_n)^{1/n} \text{ . Dann gilt: (i) } \prod_{j=1}^{n} (1+x_j) \geq (1+q)^n;<br /> \text{ (ii) Falls Gleichheit gilt, dann } x_1 = ... = x_n = q \end{eqnarray*}$

Die einzige sinnvolle Idee die ich zur (i) hatte war Induktion, allerdings scheitert es, da jede Abschätzung die ich mache zu stark zu sein scheint:

$\begin{eqnarray*} \prod_{j=1}^{n+1} (1+x_j) = \left(\prod_{j=1}^n (1+x_j) \right)(1+x_{n+1}) \ge \left(1+\sqrt[n]{\prod_{j=1}^n x_j} \right)^n \left(1+x_{n+1}\right) \end{eqnarray*}$

Nun ist da nicht viel, ausmultiplizieren und teilweise reinziehen führte nur zu für mich Ausdrücken, die ich nicht wirklich abschätzen konnte.

Bin für jeden Anstoß dankbar.

20.06.2010, 20:07

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Logarithmiert lautet die Behauptung

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^n \ln(1+x_j) \leq n\ln(1+q) \end{eqnarray*}$

Substituiert man nun noch $\begin{eqnarray*} y_j=\ln(x_j) \end{eqnarray*}$ und dividiert durch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , dann wird daraus

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \ln\left(1+\exp(y_j) \right) \leq \ln\left(1+\exp\left( \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n y_j \right) \right) \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt eine Frage: Kennst du die Jensensche Ungleichung? Augenzwinkern

EDIT: Ich sehe gerade - das Relationszeichen muss anders herum sein, also $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ , nicht wahr?

20.06.2010, 20:12

IfindU

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Leider nicht, bin gerade dabei mir auf Wikipedia was durchzulesen und versuche eine Parallele zu finden. Danke schonmal.

Edit: Natürlich hast du recht, Relationszeichen wird direkt umgedreht! Forum Kloppe

20.06.2010, 20:17

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Auch wenn's wahrscheinlich jetzt klar ist, sage ich es vor meiner Verabschiedung zum Fußball doch noch:

Jensen wird hier auf die konvexe Funktion $\begin{eqnarray*} f(t) = \ln(1+\exp(t)) \end{eqnarray*}$ angewandt.

20.06.2010, 20:17

IfindU

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Ok danke, damit werd ich was anfangen können. Viel Spaß beim Spiel.

20.06.2010, 22:09

IfindU

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RE: Ungleichung
Nochmal danke, da ich jetzt alles verstanden und aufgeschrieben habe. Freude

20.06.2010, 22:13

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Das ist der Lohn für deinen eisernen Durchhaltewillen, den ich nie und nimmer aufbringen könnte. Augenzwinkern

20.06.2010, 22:20

IfindU

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Wenn ich mit ner Lösung belohnt werde, die ich hätte nicht aufbringen können wenn ich die ganze Zeit an meiner Aufgabe gearbeitet hätte, finde ich das eine Win:Win-Situation Augenzwinkern

21.06.2010, 13:27

Kühlkiste

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RE: Ungleichung

Zitat:

Original von IfindU
$\begin{eqnarray*} \text{Seien } x_j > 0,~j=1,\ldots,n \text{ und es sei } q^n=\prod_{j=1}^n x_j. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{ Dann gilt: } \prod_{j=1}^{n} (1+x_j) \geq (1+q)^n. \end{eqnarray*}$

Übrigens taucht diese Aufgabe auch gerne mal im Kontext "Extremwerte mit Nebenbedingungen" auf.

21.06.2010, 13:40

IfindU

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RE: Ungleichung
http://www.app-ana2.uni-bonn.de/teaching/ss2010/Blatt9.pdf

Aufgabe 4a hab ich gepostet und 4b ist tatsächlich eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen.

21.06.2010, 13:53

Kühlkiste

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RE: Ungleichung

Zitat:

Original von IfindU
... tatsächlich eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen.

Sag ich doch...

Übrigens:

4b folgt ja dann aus dem a-Teil und liefert die Aussage, dass

$\begin{eqnarray*} a,x_1,\ldots,x_n, b \end{eqnarray*}$

für die Maximalität des gegebenen Ausdrucks eine geometrische Folge sein muss.

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