Stetigkeit/Differenzierbarkeit

20.06.2010, 22:20

Kalli2671990

Stetigkeit/Differenzierbarkeit

Meine Frage:
Ich habe folgende Aufgabe:

Seien $\begin{eqnarray*} n,m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Wir definieren die Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R -> \mathbb R \end{eqnarray*}$ durch:

$\begin{eqnarray*} f(n)=\begin{cases}<br /> <br /> x^{n} sin(x^{-m}) , & \text{für } x\neq 0 \\<br /> 0 & \text{für }x=0<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

i) Bestimmen Sie alle $\begin{eqnarray*} n,m\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , für die f auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig ist

ii) Bestimmen Sie alle $\begin{eqnarray*} n,m\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , für die f auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist

iii)Bestimmen Sie alle $\begin{eqnarray*} n,m\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , für die f' auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ existiert und stetig ist

Meine Ideen:
Also ich bekomme immer als Ergebnis, dass es sowohl bei i; ii als auch iii für alle n,m gilt. Das kommt mir aber viel zu einfach vor

20.06.2010, 22:48

Mathehelfer

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nein das ist nicht ganz korrekt
achte darauf, dass du bei stetigkeitsuntersuchungen den links- und rechtsseitigen grenzwert betrachtest
das hast du wahrscheinlich nicht bedacht

20.06.2010, 23:56

GastMathematiker

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Zitat:

Original von Mathehelfer
nein das ist nicht ganz korrekt
achte darauf, dass du bei stetigkeitsuntersuchungen den links- und rechtsseitigen grenzwert betrachtest
das hast du wahrscheinlich nicht bedacht

Wieso sollte man bei dieser Funktion eine solche Fallunterscheidung machen? Das ist sinnlos. Wahrscheinlich hast du bei ii) und iii) falsch abgeleitet, poste mal die Rechnung. i) stimmt.

21.06.2010, 12:36

Kalli2671990

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RE: Stetigkeit/Differenzierbarkeit
Also meine Ableitung ist:

$\begin{eqnarray*} nx^{n-1} sin(\frac{1}{x^{m} } )-x^{n} cos(\frac{1}{x^{m} } )m(x^{-m-1} ) \end{eqnarray*}$

bzw umgeformt:

$\begin{eqnarray*} x^{n-1}(nsin(\frac{1}{x^{m}}) -x^{-m} cos(\frac{1}{x^{m} } )) \end{eqnarray*}$

Ich glaub während ich die Aufgabe geschrieben hab hats "klick" gemacht Augenzwinkern

Der rechtsseitige Grenzwert und der linksseitige müssen ja übereinstimmen. Das heißt in allen Exponenten von dem x müssen Vielfache von 2 stehen (damit man das quadriert und so negative Zahlen wieder positiv werden). Das heißt n muss ungerade sein und m muss gerade sein.

(allerdings weiß ich nicht wie ich mit dem Sinus und Kosinus hier umgehen soll)

21.06.2010, 13:32

Kalli2671990

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RE: Stetigkeit/Differenzierbarkeit
Hat jemand einen Hinweis wie ich die Aufgabe iii) angehen kann? Beziehungsweise eine Bestätigung ob Aufgabe ii) stimmt?

21.06.2010, 14:07

system-agent

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(ii) ist noch nicht OK.

Damit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist in der Null, muss der Grenzwert von
$\begin{eqnarray*} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=x^{n-1}\sin\left(\frac{1}{x^m}\right) \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} x\to0 \end{eqnarray*}$ existieren.

Nutze dazu, dass $\begin{eqnarray*} |\sin(z)|\leq1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

21.06.2010, 14:19

Kalli2671990

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Ok, das heißt ja dann, dass n>1 sein muss, dann ist es differenzierbar, oder?

21.06.2010, 14:33

system-agent

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Ja, genau das heisst es.

Für die (iii) nutze, dass
$\begin{eqnarray*} f'(x)=nx^{n-1}\sin\left(\frac{1}{x^m}\right)-m\cos\left(\frac{1}{x^m}\right)x^{n-m-1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\neq0 \end{eqnarray*}$
[wieso kann man eigentlich die Funktion ableiten ausserhalb der Null?].

Dann betrachte auch hier den Grenzwert $\begin{eqnarray*} x\to0 \end{eqnarray*}$ . Welchen Grenzwert müsste es denn haben damit es stetig differenzierbar ist?

21.06.2010, 14:40

Kalli2671990

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Hmm braucht man dann hier meine erste Lösung für die ii) ?

Andere Überlegung wäre f'(x) = 0. Aber das ergibt irgendwie keinen Sinn finde ich

21.06.2010, 14:46

system-agent

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Zunächst lautet die Frage du sollst begründen, wieso die Funktion überall differenzierbar ist.
Nun für $\begin{eqnarray*} x\neq0 \end{eqnarray*}$ ist das ziemlich schnell gemacht, verweis auf einen Satz: Kompositionen differenzierbarer Funktionen sind ... .
Nun bleibt nur noch die Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ zu untersuchen.

In (ii) hast du begründet, dass die Ableitung in der Null existiert falls $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ und in diesem Fall gilt
$\begin{eqnarray*} f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}x^{n-1}\sin\left(\frac{1}{x^m}\right)=? \end{eqnarray*}$ .

Damit $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ stetig auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sein kann, musst du nur untersuchen wann es stetig in Null ist [wieso reicht das?; wieder so ein netter kleiner Satz Augenzwinkern

].

Was muss also für $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0}f'(x) \end{eqnarray*}$ gelten?

21.06.2010, 15:00

Kalli2671990

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Ah ich hab ja gezeigt in ii), dass

$\begin{eqnarray*} f'(0) = 0 \end{eqnarray*}$ für n>1

Die Funktion ist doch dann stetig, wenn

$\begin{eqnarray*} f'(x) = x^{n-1}(nsin(\frac{1}{x^{m} }) - x^{-m}cos(\frac{1}{x^{m} } ) ) = 0 \end{eqnarray*}$ ist, oder?

21.06.2010, 15:04

system-agent

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Zitat:

Original von Kalli2671990
Die Funktion ist doch dann stetig, wenn

$\begin{eqnarray*} f'(x) = x^{n-1}(nsin(\frac{1}{x^{m} }) - x^{-m}cos(\frac{1}{x^{m} } ) ) = 0 \end{eqnarray*}$ ist, oder?

Du meinst das Richtige, nur die schreibst es falsch hin. Die Ableitungsfunktion ist stetig in Null, falls $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0}f'(x)=f'(0) \end{eqnarray*}$ .

Und wie erwähnt, nicht vergessen zu begründen wieso $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\neq0 \end{eqnarray*}$ überall stetig differenzierbar ist.

21.06.2010, 15:06

Kalli2671990

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Ok cool, danke.

Dann halt noch Bedingungen für n,m raussaugen. Das werde ich mir später anschauen. Muss jetzt los.

Danke

21.06.2010, 15:06

system-agent

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Ja.

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