charakteristische Funktionen

21.06.2010, 09:47

anastasy

charakteristische Funktionen

Hallo, ich bräuchte schnell ;-/ Hilfe bei folgender Aufgabe:
1. Berechne für eine u.i.v. Folge von auf (-r, r) gleichverteilten Zufallsvariablen mit
r=sqrt3 die charakteristischen Funktionen alpha_n von (1/n)*sum (i=1,..,n) X_i
& beta_n von (1/sqrt n)*sum (i=1,...,n) X_i

2. Bestimme dann die punktweisen GW von alpha_n, beta_n direkt für n gegen unendlich

Bei 1. weiss ich nichts mit den beiden Termen anzufangen...ich kenne zwar die charakteristische Fkt von gleichverteilten ZV auf (a,b) aber was hat das damit zu tun??

2. baut wohl darauf auf

LG,anastasia

21.06.2010, 10:46

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Zitat:

Original von anastasy
ich kenne zwar die charakteristische Fkt von gleichverteilten ZV auf (a,b) aber was hat das damit zu tun??

Eine Menge: Wie berechnet man denn die charakteristische Funktion der Summe unabhängiger Zufallsgrößen? Und inwieweit gehen die Vorfaktoren $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ in diese charakteristische Funktion ein?

Wenn du die beiden Fragen beantwortest, steht die Lösung praktisch da.

21.06.2010, 11:05

anastasy

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Hallo , ich finde dazu in unserem Skript einfach nichts sinnvolles und bin echt verzweifelt.
Kannst du mir einen Tipp geben?

21.06.2010, 11:45

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Zitat:

Original von anastasy
Hallo , ich finde dazu in unserem Skript einfach nichts sinnvolles

Kann ich mir nicht vorstellen - du schaust nur nicht richtig nach. unglücklich

Aber egal: Für die charakteristische Funktion $\begin{eqnarray*} \varphi_X(t) = E\left( \exp(itX) \right) \end{eqnarray*}$ einer Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gilt

(1) $\begin{eqnarray*} \varphi_{X+Y}(t) = \varphi_X(t)\cdot \varphi_Y(t) \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ unabhängig sind.

(2) $\begin{eqnarray*} \varphi_{aX}(t) = \varphi_X(at) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb{R}, a\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

21.06.2010, 11:57

anastasy

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Sorry, aber ich bin total unter Zeitdruck.Was hat das den mit meinen alpha_n,beta_n zu tun?? ist das a dieser Vorfaktor?
Ich weiß, es ist nicht Sinn dieses Forums, aber kannst du mir nicht einfach sagen, was man da machen muss?

21.06.2010, 13:42

kiste

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Es steht doch alles da. Du willst die char. Fkt. einer ZV berechnen die Summe von einzelnen ZVs ist. Arthur hat dir geschrieben mit welcher Formel man das bewerkstelligen kann.
Die Formel musst du dann schon noch selbst anwenden

21.06.2010, 14:14

anastasy

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wenn mir klar wäre was für x,y eingesetzt wird, würde ich nicht fragen!
Die HaAbgabe ist jetzt vorbei. Könntet ihr mir vielleicht trotzdem verraten wie es funktioniert?
Anastasia

21.06.2010, 15:43

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Ich frag mich manchmal, ob ich hier wirklich im Hochschulforum bin. Ist es denn so schwer, wenn du nach eigener Aussage

Zitat:

Original von anastasy
ich kenne zwar die charakteristische Fkt von gleichverteilten ZV auf (a,b)

kennst, diese für das Intervall (-r,r) (d.h. also a=-r und b=r) aufzuschreiben und dann in

Zitat:

Original von Arthur Dent
(1) $\begin{eqnarray*} \varphi_{X+Y}(t) = \varphi_X(t)\cdot \varphi_Y(t) \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ unabhängig sind.

bzw. in die iterierte Version für n Zufallsgrößen

$\begin{eqnarray*} \varphi_{\sum\limits_{i=1}^n X_i}(t) = \prod\limits_{i=1}^n \varphi_{X_i}(t) \end{eqnarray*}$

einzusetzen? Wenigstens einen Teil davon zu erledigen? Nein, nichts davon geschieht, nichts. unglücklich

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