Funktionen minimieren/maximieren

21.06.2010, 10:10

michik22

Funktionen minimieren/maximieren

Meine Frage:
Hallo zusammen, ich hänge gerade bei folgender Aufgabe fest:
Seien $\begin{eqnarray*} a_{k} , b_{k} \in \mathbb R , k=1,...,n \end{eqnarray*}$ gegeben.

a) Man minimiere $\begin{eqnarray*} G(x,y):=\sum\limits_{k=1}^n [(x-a_{k})^{2}+(y-b_{k})^2] \end{eqnarray*}$

b) Man minimiere G(x,y) unter der Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} x^{2} + y^{2} = 1 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ehrlich gesagt habe ich bis jetzt keinen wirklich Ansatz zur Lösung der Aufgaben. Auch im Skript und im Netz habe ich nichts gefunden, was mich einer Lösung näher bringt.

Ich sehe auch den Zusammenhang zu unserem eigentlich aktuellen Thema Untermannigfaltigkeiten nicht so recht. Vorher haben wir uns mit Extrema und impliziten Funktionen beschäftigt, da seh ich den Zusammenhang schon eher. Aber ich habe trotzdem keine Ahnung, wie ich hier vorgehen soll.

Natürlich möchte ich keine Komplettlösung, aber einer kleiner Denkanstoß wäre sehr nett und ich bin für jede Antwort und jeden Tipp dankbar!

MfG Michi

21.06.2010, 10:25

Mazze

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Sind die eckigen Klammern die Gaussklammern oder wolltest Du damit nur die Summe "sichtbar" machen?

21.06.2010, 10:31

michik22

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Das sind nur die "Summen Klammern" ums von den runden unterscheiden zu können.

21.06.2010, 10:53

Mazze

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Dann ist es doch nichts schlimmes. Bilde den Gradienten von G und setze ihn Null. Forme um , rechne die Hessematrix aus und zeige das Du das Minimum gefunden hast. Dann hast Du Teil a). Für Teil b) helfen zum Beispiel Lagrangemultiplikatoren

21.06.2010, 12:27

michik22

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Hallo Mazze, ich hab auch nicht behauptet, dass es schlimm ist Augenzwinkern

Also a) ist dann ja wirklich ziemlich simpel:
$\begin{eqnarray*} Grad G = (2x-\sum\limits_{k=1}^n 2a_{k}, 2y-\sum\limits_{k=1}^n 2b_{k}) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\sum\limits_{k=1}^n a_{k}; y=\sum\limits_{k=1}^n b_{k} \end{eqnarray*}$

Hesse Matrix: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nur positive Eigenwerte, daher positiv definit, also lokales Minimum.

Soweit richtig?

Für b) definiere ich die Nebenbedingung
$\begin{eqnarray*} g(x,y):=x^{2}+y^{2}-1=0 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} h(x,\lambda)=G+\sum\limits_{k=1}^s \lambda_{k}g_{k} \end{eqnarray*}$

Dann sollte gelten:
$\begin{eqnarray*} \frac{d f}{d x_{i}} = -\sum\limits_{k=1}^s \lambda_{k} \frac{d g_{k}}{d x_{i}} \end{eqnarray*}$

Die kleinen d`s stehen hier für partielle Ableitungen, finde das richtige Symbol gerade nicht im Editor. Daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} 2x-\sum\limits_{k=1}^n a_{k} = -\lambda_{1} 2x; 2y-\sum\limits_{k=1}^n b_{k} = -\lambda_{2} 2y; \lambda_{1} = 1-\frac{\sum\limits_{k=1}^n a_{k} }{2x}; \lambda_{2} = 1-\frac{\sum\limits_{k=1}^n b_{k} }{2y}; \end{eqnarray*}$

Soweit in Ordnung? Wie muss ich dann weiter vorgehen? Ich muss ja irgendwie die kritischen Punkte finden und einsetzen oder nicht?

MfG

21.06.2010, 13:00

Mazze

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Zitat:

Soweit richtig?

Nein ist es nicht. Bedenke das

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n 2x - 2a_k = 2nx - \sum_{k=1}^n 2a_k \end{eqnarray*}$

ist. Bei Teil b) hast Du den selben Fehler gemacht.

21.06.2010, 14:26

michik22

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Hallo, erstmal danke für die Antworten!

für a müsste es dann sein:
$\begin{eqnarray*} x=\frac{\sum\limits_{k=1}^n a_{k}}{n} ; y=\frac{\sum\limits_{k=1}^n b_{k} }{n} \end{eqnarray*}$

und für b: $\begin{eqnarray*} \lambda_{1}=\frac{\sum\limits_{k=1}^n a_{k} }{2x} -n; \lambda_{2}=\frac{\sum\limits_{k=1}^n b_{k} }{2y}-n \end{eqnarray*}$

MfG

21.06.2010, 15:42

Mazze

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a) ist jetzt richtig.

Zu b)

Für jede Nebenbedingung wird ein Lagrangemultiplikator eingeführt. Die zu Optimierende Funktion wäre also

$\begin{eqnarray*} G_\lambda(x,y,\lambda) = \sum\limits_{k=1}^n (x-a_{k})^{2}+(y-b_{k})^2 + \lambda (x^2 + y^2 - 1) \end{eqnarray*}$

22.06.2010, 10:24

michik22

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Hi,
damit erhalte ich dann für den Gradienten:
$\begin{eqnarray*} GradG=(2nx-\sum\limits_{k=1}^n 2a_{k} + 2\lambda x, 2ny -\sum\limits_{k=1}^n 2b_{k} +2\lambda y) \end{eqnarray*}$

Und damit für die kritischen Punkte:

$\begin{eqnarray*} x=\frac{\sum\limits_{k=1}^n 2a_{k} }{(2n+2\lambda)} ; y=\frac{\sum\limits_{k=1}^n 2b_{k} }{(2n+2\lambda)} \end{eqnarray*}$

Aber sind das nicht die Minima? Die Hesse Matrix ist doch immer noch positiv definit...??

22.06.2010, 12:30

Mazze

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Zitat:

Die Hesse Matrix ist doch immer noch positiv definit...??

Ist die Hesse Matrix an einem kritischen Punkt positiv definit, so ist dieser Punkt ein lokales Minimum. Was deine Lösung angeht:

Gilt denn $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = 1 \end{eqnarray*}$ bzw. für welche Lambda?

22.06.2010, 16:58

michik22

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Hmm, wenn ich mein x und y einfach einsetze in x^2+y^2=1,
dann ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} \lambda_{1,2} = \frac{-8n\pm \sqrt{32n^{2}-16\sum\limits_{k=1}^n 4a_{k}^2 -16\sum\limits_{k=1}^n 4b_{k}^{2}} }{8} \end{eqnarray*}$

22.06.2010, 21:49

Mazze

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Wenn ich mal davon ausgehe das Du richtig gerechnet hast, dann sind für diese Lambda die entsprechenden x,y die Lösungen.

24.06.2010, 10:33

michik22

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Wunderbar, dann danke ich dir recht herzlich für deine Hilfe und dein Geduld!! Augenzwinkern

MfG

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