Cox-Regression und Partial Likelihood: Schätzung Regressionskoeffizienten

21.06.2010, 12:05

René Schwarz

Cox-Regression und Partial Likelihood: Schätzung Regressionskoeffizienten

Hallo,

seit einiger Zeit beiße ich mir die Zähne an folgendem Problem aus: Ich versuche eine Gleichung zur Schätzung der Regressionskoeffizienten für das Cox-Modell zu finden.

Bisher schaut das so aus:

Likelihood-Funktion für das Cox-Modell:
$\begin{eqnarray*} \mathcal{L}(x|\vartheta) = \prod \limits_{i=1}^n \frac{\exp \left( \delta_i \sum \limits_k \beta_k x_{ik} \right)}{\sum \limits_{j: \delta_j = 1} \exp \left( \sum \limits_k \beta_k x_{jk} \right)} \cdot \sum \limits_{j: \delta_j = 1} h_0(t) \cdot \exp \left( \sum \limits_k \beta_k x_{jk} \right) \cdot \prod \limits_{i=1}^n \exp \left( - \int \limits_0^t h_0(\tau) \dd \tau \right)^{\exp \left( \sum \limits_k \beta_k x_{ik} \right)} \end{eqnarray*}$

Partial Likelihood-Funktion:
$\begin{eqnarray*} \mathcal{L}_{\text{part}}(x|\vartheta) = \prod \limits_{i=1}^n \frac{\exp \left( \delta_i \sum \limits_k \beta_k x_{ik} \right)}{\sum \limits_{j: \delta_j = 1} \exp \left( \sum \limits_k \beta_k x_{jk} \right)} \end{eqnarray*}$

Symbolerläuterungen:

Zensierungsindikator $\begin{eqnarray*} \delta_i = \begin{cases} 1 & \text{wenn $i$-te Beobachtung nicht zensiert} \\ 0 & \text{wenn $i$-te Beobachtung zensiert} \end{cases} \end{eqnarray*}$
Regressionskoeffizienten $\begin{eqnarray*} \vec{\beta} = \begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \vdots \\ \beta_k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Matrix der Kovariablen $\begin{eqnarray*} \underline{X} = \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1k} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{nk} \\ \end{pmatrix} = x_{(ij)} \end{eqnarray*}$

Man müsste nun damit weitermachen, die Log-Likelihood-Funktion $\begin{eqnarray*} \ln (\mathcal{L}_{\text{part}}) \end{eqnarray*}$ zu bilden, diese dann nach $\begin{eqnarray*} \vec{\beta} \end{eqnarray*}$ abzuleiten, Nullzusetzen und umzuformen.

Wenn ich das versuche, komme ich zu folgendem Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \begin{split} \ln (\mathcal{L}_{\text{part}}) &= \ln \left( \frac{\exp \left( \sum \limits_{i=1}^n \sum \limits_k \beta_k x_{ik} \delta_i \right) }{\left( \sum \limits_{j: \delta_j=1} \exp \left( \sum \limits_k \beta_k x_{jk} \right) \right)^n} \right) \\ &= \sum \limits_{i=1}^n \sum \limits_k \beta_k x_{ik} \delta_i - n \cdot \ln \left( \sum \limits_{j: \delta_j=1} \exp \left( \sum \limits_k \beta_k x_{jk} \right) \right) \end{split} \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich aber nicht

ob die obige Umformung korrekt und komplett ist, d.h. ob man noch weiter vereinfachen könnte
wie ich weiter verfahren soll.

Es würde jetzt die partielle Ableitung nach $\begin{eqnarray*} \vec{\beta} \end{eqnarray*}$ folgen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial \ln (\mathcal{L}_{\text{part}})}{\partial \vec{\beta}} \stackrel{!}= 0 = \ldots \end{eqnarray*}$

Am Ende möchte ich ja irgendeinen Ausdruck zur Schätzung der Regressionskoeffizienten haben:

$\begin{eqnarray*} \hat{\beta_1} = \ldots, \ \hat{\beta_2} = \ldots, \ \ldots \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann, denn in der Literatur konnte ich bisher keine ausgeschriebene Gleichung für die Schätzung der Regressionskoeffizienten finden.

Schon vielmals im Voraus dankend,

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