inh. Lösung

21.06.2010, 12:08	Malteee	Auf diesen Beitrag antworten »
inh. Lösung Hi, kann mir jemand bei der Lösung von: $\begin{eqnarray} \dot{y}+y = 2x \end{eqnarray}$ helfen? Die Homogene Lösung ist ja einfach, ich bilde das Char. Polynom: $\begin{eqnarray} s+1=0 \end{eqnarray}$ und anschließend erhalte ich für die Homo. Lösung: $\begin{eqnarray} y_{hom} = Ae^{-t} \end{eqnarray}$ Nur wie komme ich auf die inhomogene Lösung? Und noch ein Bsp wo ich nicht weiter weiß: $\begin{eqnarray} \ddot{y} + \frac{c}{m} y = \frac{1}{m} u \end{eqnarray}$ Homogene Lösung ist klar: $\begin{eqnarray} s^2 + \frac{c}{m} = 0 \Rightarrow s_{1,2} = \pm j\sqrt{\frac{c}{m} } \end{eqnarray*}$ nur wie gehts weiter?
21.06.2010, 14:45	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Prinzip ist wie folgt: Man bestimmt die Lösung $\begin{eqnarray} y_0 \end{eqnarray}$ der homogene Dgl. (Das hast du getan). Danach bestimmt man eine (nicht eindeutige) partikuläre (=einzelne) Lösung $\begin{eqnarray} y_1 \end{eqnarray}$ der inhomogenen Gleichung. (Einen allgemeinen Lösungsweg gibt es dafür nicht. Manchmal hilft "Probieren".) Die Summe beider Lösungen ist die allgemeine Lösung $\begin{eqnarray} y(x)=y_0(x)+y_1(x) \end{eqnarray}$ Um die noch unbekannte partikuläre Lösung $\begin{eqnarray} y_1 \end{eqnarray}$ zu finden, versuche mal den Ansatz einer Geradengleichung, also $\begin{eqnarray} y_1(x)=mx+n \end{eqnarray}$ . Setze dies in die Dgl. ein und bestimme m und n. ------------------------------------ Bei der zweiten Gleichung ist es ähnlich. Die homogene Dgl. hast du gelöst gemäß $\begin{eqnarray} y_0(t)=A\cdot \exp \left ( i\sqrt{\frac{c}{m}} \cdot t \right )+B\cdot \exp \left ( -i\sqrt{\frac{c}{m}} \cdot t \right ) \end{eqnarray}$ Eine partiküläre Lösung der inhomogenen Dgl. lässt sich auch hier leicht finden, wenn die rechte Seite der Dgl. eine Konstante ist, also u=konstant. In diesem Falle probiere mal den einfachsten Ansatz einer konstanten partikulären Lösung, also $\begin{eqnarray} y_1(t)=C \end{eqnarray}$ Einsetzen dieses Ansatzes liefert die noch unbekannte Konstante C. Die allgemeine Lösung der Dgl. ist wie oben die Summe $\begin{eqnarray} y(x)=y_0(x)+y_1(x) \end{eqnarray}$
21.06.2010, 15:31	Malteee	Auf diesen Beitrag antworten »
Die zweite habe ich verstanden die erste jedoch nicht. Das ergebniss was mein Prof. da rausbekommt ist: $\begin{eqnarray} y_{inh} = Be^{jwt} \\<br /> B=\frac{2x_0}{1+jw} \end{eqnarray*}$ nur weiß ich nicht wie man darauf kommen soll
22.06.2010, 09:26	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
@Maltee: Sorry, habe dir einen falschen Ansatz gegeben. Man findet eine partikuläre Lösung mit der sog. Methode der "Variation der Konstanten". Das funktioniert wie folgt: Man bestimmt zuerst eine Lösung der homogenen Dgl.. Das hst du getan, und Deine richtige Lösung lautete $\begin{eqnarray} y(t)=A\cdot e^{-t} \end{eqnarray}$ . Nun fasst man die Konstante A als Funktion A(t) auf und setzt folgenden Ansatz in die inhomogene Dgl. $\begin{eqnarray} y'+y=2x \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} y_1(t)=A(t)\cdot e^{-t} \end{eqnarray}$ Dann erhälst du eine Dgl. für die Funktion A(t). Löse nach A(t) auf, und du hast dann gemäß obigem Ansatz eine (nicht eindeutige) partikuläre Lösung.

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