Grenzwert von (cos(x)-1)/x

21.06.2010, 13:49

JD

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Grenzwert von (cos(x)-1)/x

Meine Frage:
Hallo ich soll zeigen das dieser grenzwert existiert:
$\begin{eqnarray*} (\cos(x)- 1) / x \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
ich habe mich mal schlau gemacht und gesehen das man den bruch mit
$\begin{eqnarray*} (\cos(x)+ 1) \end{eqnarray*}$ erweitern muss. Doch mein problem ist jetzt, ich weiss nciht genau wie mir das wieterhilft. Ich habe da jetzt
$\begin{eqnarray*} (cos^{2}(x) - 1) / x*cos(x) + x \end{eqnarray*}$ stehen.
was bringt mir das oder hab ich da nen fehler??

21.06.2010, 14:06

Kühlkiste

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RE: Grenzwert von (cos(x)-1)/x

Zitat:

Original von JD
Meine Frage:
Hallo ich soll zeigen das dieser grenzwert existiert:
$\begin{eqnarray*} (\cos(x)- 1) / x \end{eqnarray*}$

Du meinst vermutlich

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1}x \end{eqnarray*}$

Diesen Ausdruck jedenfalls, kannst Du als Differenzenquotienten interpretieren.

21.06.2010, 14:12

JD

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RE: Grenzwert von (cos(x)-1)/x
ja genau das mein ich.Das hatten wir aber leider noch nicht..kannst du mir da bei mienem ansatz irgendwie helfen

21.06.2010, 14:50

klarsoweit

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RE: Grenzwert von (cos(x)-1)/x
Schreibe $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1}x = \lim_{x\to 0}\frac{\cos(x) - cos(0)}{x-0} \end{eqnarray*}$ und dann überlege, ob dir der Begriff "Differenzenquotient" etwas sagt.

21.06.2010, 14:58

tmo

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Warum geht keiner auf die Ursprungsidee ein?

Wenn man dann nämlich $\begin{eqnarray*} \sin^2 x + \cos^2 x =1 \end{eqnarray*}$ nutzt und den Nenner NICHT ausmutipliziert, kommt man zum Ziel.

21.06.2010, 15:20

Kühlkiste

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RE: Grenzwert von (cos(x)-1)/x

Zitat:

Original von JD
ja genau das mein ich.Das hatten wir aber leider noch nicht

verwirrt

Äh, was denn jetzt?

Zitat:

Original von JD
..kannst du mir da bei mienem ansatz irgendwie helfen

Dieser Ansatz hilft Dir nur wenn Du z.B. diesen hier schon kennst:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}x=1 \end{eqnarray*}$

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21.06.2010, 16:33

JD

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RE: Grenzwert von (cos(x)-1)/x
danke für die Zahlreichen antworten...
Ich habe jetzt das dort stehen :
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{\cos^{2} (x)-1} {x(\cos(x)+ 1)} \end{eqnarray*}$

tmo, du sagst ich soll mir dann diese gleichung anschauen: $\begin{eqnarray*} \sin^2 x + \cos^2 x =1 \end{eqnarray*}$

habe mal um geformt und eingesetzt doch ich komme nicht auf die gewünschte lösung..hast du vllt noch nen genaueren tipp für mich?

21.06.2010, 16:35

tmo

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RE: Grenzwert von (cos(x)-1)/x

Zitat:

Original von JD
habe mal um geformt und eingesetzt doch ich komme nicht auf die gewünschte lösung..

Und ich soll jetzt orakeln, woran genau du gescheitert bist?

Du musst deine Versuche hier schon präsentieren, sonst kann ich dir kaum weiterhelfen.

21.06.2010, 16:40

JD

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RE: Grenzwert von (cos(x)-1)/x
also
$\begin{eqnarray*} -\sin(x) = \cos^{2} (x) - 1 \end{eqnarray*}$

das kann ich ja einfach in den zähler einsetzen doch wie hilft mir das weiter?

21.06.2010, 16:45

tmo

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Du hast das Quadrat vergessen.

Und schreib doch mal dann wirklich den Bruch hier hin, wie er dann aussieht. Dann siehst du vielleicht, dass du schon fast am Ziel bist.

21.06.2010, 16:52

JD

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$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{-\sin^{2} (x)} {x(\cos(x)+ 1)} \end{eqnarray*}$
so das ist mein Bruch

21.06.2010, 16:54

tmo

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So jetzt teile das Ding in geeignete Faktoren auf und verwende die Grenzwertsätze.

21.06.2010, 17:01

JD

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kann ich das minus bei dem sinus eigentlcih weglassen weil es ja quadrat ist?

21.06.2010, 17:04

tmo

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Nein, natürlich nicht! Aber warum hältst du dich überhaupt mit dem Minus auf? Das ist als konstanter Vorfaktor für die Limesbildung bekanntlich völlig irrelevant.

21.06.2010, 17:10

JD

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ok dann hab ich da stehen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{-\sin(x)} {x} * \frac{-\sin(x)}{(\cos(x)+ 1)} \end{eqnarray*}$

so der erste faktor ist ja 1 bzw -1.oder?

doch wie gehe ich beim 2. vor? kann ich denn nenner auch noch verändern?bestimmt..

21.06.2010, 17:11

tmo

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Beim zweiten Faktor kannst du doch den Grenzwert direkt ablesen.

Was ist denn $\begin{eqnarray*} \cos (0) \end{eqnarray*}$ ?

21.06.2010, 17:29

JD

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käme dann als endergebnis 0 raus..sonst hab ich da irgendwas falsch verstanden...cos(0) ist ja 1 und sin(0) ist 0 also kommt da ja also gesamtwert = raus oder ?

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