a - Beweis

21.06.2010, 14:02

Matheversteher

a a/b näher an 1 als b/a - Beweis

Hallo Matheboarder Wink

ich soll folgendes beweisen/begründen und hoffe, dass mir jemand weiter helfen kann, bzw sagen kann ob das was ich gemacht habe richtig oder sinnig ist.

Aufgabe:
Begründen Sie, dass für natürliche Zahlen a,b mit a<b der Bruch a/b näher an 1 liegt als der Bruch b/a. (Hinweis: fassen sie 1 als Bruch auf; verwenden Sie die Regeln für den Größenvergleich von und das Rechnen mit Brüchen).

also ich habe es nun so gemacht.

Wenn
a<b
dann
$\begin{eqnarray*} |\frac{a}{b}-1| < |\frac {b}{a}-1| \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =|\frac{a-b}{b}| < |\frac {b-a}{a}| |*a *b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leftrightarrow|a^2-ab| < |b^2-ab| +ab \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leftrightarrow |a^2| <|b^2| \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =a^2<b^2 \end{eqnarray*}$

--> wenn a² < b² dann stimmt auch a<b und somit die vorrausetzung

so ich hoffe ihr könnt mir sagen, wenn ich was verbessern muss was zu verbessern ist und ob es ansonsten so richtig ist.

gruß flo

21.06.2010, 14:21

lgrizu

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RE: a a/b näher an 1 als b/a - Beweis
sieht so weit ganz gut aus, in der folgenden zeile ist das "=" fehl am platz, da steht ja dann b^2=a^2, und das ist einfach falsch.

Zitat:

Original von Matheversteher
$\begin{eqnarray*} \leftrightarrow |a^2| <|b^2| \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =a^2<b^2 \end{eqnarray*}$

ansonsten ist es vollkommen korrekt, das über den abstand auszurechnen.

21.06.2010, 14:39

Kühlkiste

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RE: a a/b näher an 1 als b/a - Beweis

Zitat:

Original von lgrizu
sieht so weit ganz gut aus,...

Sorry, aber da sieht eigentlich fast gar nichts gut aus.

Von der fehlerhaften Schreibweise mal abgesehen, bleibt für mich die Beweislogik vollkommen unklar.

Du solltest versuchen, von der Voraussetzung ausgehend, die zu beweisende Aussage, zu deduzieren.

Ein möglicher Ansatz wäre z.B.:

$\begin{eqnarray*} \text{Aus }a0 \text{ und andererseits } \frac 1a>\frac 1b. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Insgesamt folgt somit: }\frac {b-a}a>\frac {b-a}b. \end{eqnarray*}$

Und das war's dann ja schon fast...

21.06.2010, 15:09

Matheversteher

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@kühlkiste
kann ich es den nicht über den abstand maachen?
und wie du von
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a}>\frac{1}{b} \text {auf} \frac {b-a}a>\frac {b-a}b. \end{eqnarray*}$ kommst kann ich nicht so richtig nachvollziehen.

gruß flo

21.06.2010, 15:26

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Matheversteher
@kühlkiste
kann ich es den nicht über den abstand maachen?

Doch natürlich. Ich habe doch nie etwas gegenteiliges behauptet.

Zitat:

Original von Matheversteher
und wie du von
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a}>\frac{1}{b} \text {auf} \frac {b-a}a>\frac {b-a}b. \end{eqnarray*}$ kommst kann ich nicht so richtig nachvollziehen.

gruß flo

Nicht umsonst habe ich geschrieben b-a>0.
Damit ist die Multiplikation der Ungleichung 1/a>1/b mit dem Faktor (b-a) legitimiert und nichts anderes ist da passiert.

21.06.2010, 17:48

Matheversteher

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okee also ich multipliziere
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a} > \frac{1}{b} \end{eqnarray*}$ mit b-a, da ich weis, dass das ungleich 0 ist.

das hier hatte ich ja zuerst geschrieben:
$\begin{eqnarray*} |\frac{a}{b}-1| < |\frac {b}{a}-1| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =|\frac{a-b}{b}| < |\frac {b-a}{a}| |*a * b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leftrightarrow|a^2-ab| < |b^2-ab| +ab \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leftrightarrow |a^2| <|b^2| \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leftrightarrow a^2<b^2 \end{eqnarray*}$

an welcher stelle hakt es denn, was muss ich hier verbessern und wo muss ich gegebenenfalls
das von dir angesprochene $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a} > \frac{1}{b} \end{eqnarray*}$ .... einfrügen?

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a<b --> a/b näher an 1 als b/a - Beweis

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