Uneigentliches Integral x^a*lnx

21.06.2010, 15:10

mathenovize

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Uneigentliches Integral x^a*lnx

Hallo zusammen,

ich komme mal wieder an einer Stelle nicht weiter und hoffe jemand kann mich in die richtige Richtung treten smile

smile

Meine Aufgabe besteht darin, dass folgende uneigentliche Integral zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} <br /> \int_1^e \! x^a*ln(x) \, dx <br /> \end{eqnarray*}$
Als Hinweis wurde dazu erwaehnt erst fuer a=-1 und dann fur a !=-1 zu loesen.

Bei a=-1 habe ich das ganze in folgende Form gebracht:
$\begin{eqnarray*} <br /> \int_1^e \! \frac{ln(x)}{x} \, dx <br /> \end{eqnarray*}$

Dann mit t=ln(x) substituiert, bischen rumgebaut und folgendes Ergebnis bekommen:

$\begin{eqnarray*} <br /> ( \frac{1}{2}*ln^2(x) )^e_1<br /> \end{eqnarray*}$

Jetzt kann ich natuerlich e und 1 einsetzen, was allerdings bei e wenig erfolg versprechend aussieht. Ich habe auch soweit das Skript gelesen, dass ich jetzt den Grenzwert von e bestimmen soll. Meine Frage ist nur: Wie?
Ich wuerde jetzt intuitiv mir einen limes vor den eingesetzen Teil mit dem e schreiben und versuchen irgendwie einen Grenzwert zu erhalten. Da braeuchte ich mal einen kleinen Schubser.

Der zweite Teil fuer a!=-1, fuer den habe ich leider noch nichts. Ich schaetze ich kaeme da mit partieller Integration weiter und kann dann wieder den Grenzwert fuer e bestimmen?

Bin fuer jeden Tip dankbar!

Gruesse

21.06.2010, 15:22

Mulder

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RE: Uneigentliches Integral x^a*lnx
Wieso sieht es wenig erfolgsversprechend aus, wenn du e einsetzt? verwirrt

verwirrt

Und den Grenzwert von e bestimmen? verwirrt

verwirrt

Einsetzen, ausrechnen, fertig. Hier ist auch nichts "uneigentlich".

Für a ungleich -1 hilft in der Tat partielle Integration, das ist sogar sehr einfach. Versuch das einfach mal.

Vielleicht mal die originale Aufgabenstellung angeben.

21.06.2010, 15:24

mathenovize

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Berechnen Sie f¨ur reelles a das Integral
(erstes Integral aus meinem ersten Post hier hindenken)
Hinweis: Verwenden Sie f¨ur a = −1 die Substitutionsregel und f¨ur a= −1 die partielle Integration.

EDIT:
mir ist klar, dass ln(e^x))=x ist, aber was (verdammt, warum finde ich nichts dazu? smile

smile

) ist das Ergebnis von ln(e)? Ich schaetze 1, aber bin mir unsicher.

Okay, Asche auf mein Haupt. Es gilt natuerlich e=e^1, somit ln(e)=ln(e^1))=1.

Gruesse

21.06.2010, 15:26

Mulder

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RE: Uneigentliches Integral x^a*lnx
Okay, dann rechne jetzt mal den Fall a=-1 zuende und mach dich an die partielle Integration.

EDIT: Naja, schau mal...

$\begin{eqnarray*} \ln(e^x)=e^{\ln(x)}=x \end{eqnarray*}$

Und es ist doch

$\begin{eqnarray*} e=e^1 \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit2: Okay, dann hast du es ja. Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.06.2010, 15:53

mathenovize

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Hallo nochmal,

hehe auf die Idee bin ich gluecklicherweise alleine gekommen. Aber grosses Dankeschoen an dich trotzdem.

So, jetzt habe ich hier ein bischen partiell integriert:

$\begin{eqnarray*} <br /> \int_1^e \! x^a*ln(x) \, dx <br /> \end{eqnarray*}$

mit x^a=f und ln(x)=g, (x^a)'=a*x^(a-1) und g(x)=x*ln(x)-x erhalte ich dann:

$\begin{eqnarray*} <br /> \int_1^e \! x^a*ln(x) \, dx = (x^a*x*ln(x)-x)_1^e - \int_1^e \! ax^(a-1)*x*ln(x)-x<br /> \end{eqnarray*}$

Den ersten Teil der Stammfunktion koennte ich noch ausrechnen fuer 1 auf -1 und fuer e auf e^(a+1) -e. Aber fuer den zweiten Teil (das Restintegral) muesste ich doch jetzt in etwa ... zweimal partielle Integrationen anwenden.

Oder?

Danke nochmal und Gruesse

21.06.2010, 15:55

Mulder

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So wird das nichts, wähle f und g' andersrum!

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22.06.2010, 11:37

mathenovize

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Hallo,

habe es jetzt umgekehrt gewaehlt vor mir. Leider scheint es mit einmal partiell Integrieren nicht getan zu sein.

Mein Ergebnis mit f und g' umgekehrt gewaehlt ist:

$\begin{eqnarray*} <br /> (x^a*(x*ln(x)-x)_1^e - \int_1^e \! ax^{a-1}*ln(x) \!<br /> \end{eqnarray*}$

Fuer mich sieht das ganz so aus, als ob die Loesung ein a-faches partielles Integrieren ist; nur um dann am Ende nochmal die Stammfunktion von ln(x) ab zu ziehen. Lieg ich damit richtig oder reicht irgendwie einmal partiell zu integrieren und ich seh den Weg nicht?

Danke im Vorraus und

Gruesse

22.06.2010, 12:03

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von mathenovize
mit x^a=f und ln(x)=g

Das geht so nicht, schau dir nochmal die Regel an. Es ist

$\begin{eqnarray*} \int~f(x) \cdot g'(x)~\dd x = f(x) \cdot g(x) - \int~f'(x) \cdot g(x)~\dd x \end{eqnarray*}$

Das heißt man muss f(x) und g'(x) festlegen, nicht f(x) und g(x).

Wähle

$\begin{eqnarray*} f(x) = \ln (x) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} g'(x) = x^a \end{eqnarray*}$

22.06.2010, 13:17

mathenovize

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Hallo,

ja ich merke partielles Integrieren muss ich fuer die Klausur noch ein paarmal ueben. Jetzt scheint es mir, ich habe das Prinzip verstanden.

Zwei Probleme mit der Aufgabe habe ich jetzt aber doch noch. Eins ist sicher trivial zu finden. Ich komme mit meiner partiellen Integration nicht auf die Werte von Mathematica.

Hier meine Rechnung:

$\begin{eqnarray*} <br /> ( ln(x)*\frac{x^{a+1}}{a+1} ) - \int_1^e \! (\frac{1}{x}*\frac{x^{a+1}}{a+1} ) \!<br /> \end{eqnarray*}$

Dann kuerze ich 1/x und x^a+1, sodass uebrig bleibt:

$\begin{eqnarray*} <br /> ( ln(x)*\frac{x^{a+1}}{a+1} ) - \int_1^e \! (\frac{x^{a}}{a+1} ) \!<br /> \end{eqnarray*}$

Dann zerteile ich den Bruch im Integral, sodass uebrig bleibt:

$\begin{eqnarray*} <br /> ( ln(x)*\frac{x^{a+1}}{a+1} ) - \frac{1}{a+1} \int_1^e \! (x^{a}) \!<br /> \end{eqnarray*}$

Das kann ich integrieren, das Ergebnis davon ist dann:

$\begin{eqnarray*} <br /> ( ln(x)*\frac{x^{a+1}}{a+1} ) - \frac{1}{a+1}*(\frac{x^{a+1}}{a+1}) +C<br /> \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich versucht alles auf einen Nenner zu bringen, indem ich zuerst den letzten Bruch auf den den Nenner (a+1)^2 ausmultipliziert habe und dann den ersten Bruch auf den Nenner (a+1)^2 erweitert habe (dafuer Zaehler mit a+1 multipliziert). Das sieht dann bei mir so aus:

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{a*ln(x)+1*ln(x)+a*x^{a+1}+1*x^{a+1}-x^{a+1}}{(a+1)^2} +C<br /> \end{eqnarray*}$

Ist das soweit Richtig? Denn am Ende mit Kuerzen und zusammenfassen komme ich nicht auf das Mathematica-Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{x^{a+1}(aln(x)+ln(x)-1}{(a+1)^2}<br /> \end{eqnarray*}$

Ein Tip waere toll =)

Mein zweites Problem besteht jetzt darin, wie ich das Integral loesen kann. Ich habe einfach aus Spass mit der Mathematica-Loesung weitergerechnet und die Grenzen eingesetzt. Da kuerzt sich gerade wegen ln(1)=0 und ln(e^1)=1 eine Menge weg. Aber einen konkreten Wert kann ich doch da nicht angeben, da a nicht gegeben ist.

Oder?

Gruesse und danke im Vorraus

22.06.2010, 13:38

mathenovize

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Hallo,

Problem geloest, habe falsch ausmultipliziert. Jetzt kommt alles hin =)

Gruesse

22.06.2010, 13:49

Mulder

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Zitat:

Original von mathenovize
Mein zweites Problem besteht jetzt darin, wie ich das Integral loesen kann. Ich habe einfach aus Spass mit der Mathematica-Loesung weitergerechnet und die Grenzen eingesetzt. Da kuerzt sich gerade wegen ln(1)=0 und ln(e^1)=1 eine Menge weg. Aber einen konkreten Wert kann ich doch da nicht angeben, da a nicht gegeben ist.

Ja, du erhälst eben einen Wert für das Integral, der aber eben von diesem Parameter a (mit a ungleich -1) abhängt. Ich erhalte da am Ende

$\begin{eqnarray*} \int\limits_1^e x^a \cdot \ln(x) \, \dx = \frac{ae^{a+1}+1}{(a+1)^2} \end{eqnarray*}$

20.07.2010, 11:42

mathenovize

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Hallo,

jetzt gerade bei der Klausurvorbereitung nochmal die Aufgabe durchgegangen und WIEDER den Fehler mit der falschen Wahl bei der partiellen Integration gemacht. Wie kann ich denn SEHEN, was ich waehle? Hat jemand noch ein aehnlich schweres Integral zum Ueben?

Muss unbedingt schneller werden, habe gerad 20 Minuten dafuer gebraucht. So 5-10 waeren okay, schaetze ich =)

Danke euch allen, das Forum bringt mich echt weiter.

Gruesse

20.07.2010, 12:12

Q-fLaDeN

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In diesem Fall ist es doch eigentlich klar. Mit dem Wissen, dass gilt

$\begin{eqnarray*} f(x) = \ln (x) \Rightarrow f'(x) = x^{-1} \end{eqnarray*}$

und sich deshalb anschließend etwas kürzen lässt. Eine neue Aufgabe hab ich nicht, aber du kannst dir ja gerne eine raussuchen, die wir dann Besprechen.

PS: Selbst wenn du f'(x) und g(x) verkehrt herum wählst, braucht man doch keine 20 Minuten für so eine Aufgabe. Man sieht ja relativ schnell, ob das so hinhaut oder nicht. Wenn nicht, einfach mal umdrehen.

20.07.2010, 16:53

mathenovize

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Hallo Fladen,

du hast da sogar ein richtig schönes in deiner Signatur. Ich hätte jetzt ad-hoc gesagt: Niemals ist das pi.

Aber mir scheint:

$\begin{eqnarray*} <br /> \int_{-b}^b \frac{1}{x^2+1} = | arctan(x) | _{-b}^b<br /> \end{eqnarray*}$

Und dann

$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{u \to \infty} arctan(u) - \lim_{v \to - \infty} arctan(v)<br /> \end{eqnarray*}$

Und dann heben sich zwei Subtraktionen auf (http://de.wikipedia.org/wiki/Arkustangens_und_Arkuskotangens müsste doch)

Und dann:

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{\pi}{2} - (- \frac{\pi}{2}) = \pi<br /> \end{eqnarray*}$

Cool. Right?

EDIT: Müsste stimmen, das Ergebnis. War auf jedenfall jetzt nach dem harten Lerntag eine schöne Fingerübung.

Grüße

20.07.2010, 17:13

Q-fLaDeN

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Nunja, zunächst mal ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty} \int_{-b}^b \frac{1}{x^2+1}~\dd x= \lim_{b \to \infty} [\arctan (x)]_{-b}^b \end{eqnarray*}$

Dann folgt erstmal

$\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty} [\arctan (x)]_{-b}^b = \lim_{b \to \infty} (\arctan (b) - \arctan (-b)) \end{eqnarray*}$

Wenn man nun weiss, dass der arctan eine ungerade Funktion ist, also

$\begin{eqnarray*} \arctan (b) = - \arctan (-b) \end{eqnarray*}$

gilt, dann ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty} (\arctan (b) - \arctan (-b)) = 2 \lim_{b \to \infty} \arctan (b) = 2 \cdot \frac \pi 2 = \pi \end{eqnarray*}$

Ich möchte damit nicht sagen, dass du falsch gerechnet hast, aber dein Aufschrieb ist nicht ganz so wie er sein sollte (du hast zudem das dx vergessen). Sonst ist das ok smile

smile

Ich dachte nur, du willst partielle Integration üben, dieses Integral ist ja in zwei Schritten erledigt, da man den Integranten nichtmal mehr umformen muss und sofort die Stammfunktion sieht.

20.07.2010, 19:54

mathenovize

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Hallo,

ja eigentlich wollte ich das. Hab auch schon fleißig heute Integrale geknackt. Gut, deine Hinweise zur Schreibweise schau ich mir morgen nochmal mit frischen Augen an.

Aber eins möcht ich einfach mal weitergeben, andem bin ich heute gescheitert, mein Tutor wusste auch keine einfache Lösung (-> für mich zwar nicht Klausurrelevant, aber interessant).

Ich präsentiere:

$\begin{eqnarray*} <br /> \int \! \frac{1}{(x^2 +1)^2}<br /> \end{eqnarray*}$

Wenn du einen einfachen Weg kennst: Raus damit =) Darum hab ich mir dein Signatur-Integral überhaupt nochmal genauer angeschaut.

Grüße

20.07.2010, 21:56

Mulder

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Diesem Integral ist mit der Substitution

$\begin{eqnarray*} x = \tan(u) \end{eqnarray*}$

recht gut beizukommen. Das Integral, das sich nach dieser Substitution ergeben wird, kann entweder partiell oder unter Nutzung der Identität

$\begin{eqnarray*} \cos^2(x) = \frac 1 2 \left ( 1+\cos(2x) \right ) \end{eqnarray*}$

gelöst werden. Beides geht.

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