Abbildung/Äquivalenzrelation/

02.11.2006, 17:15

Susi1987

Abbildung/Äquivalenzrelation/

Hallöle, schlage mich seit Tagen mit 2 Aufgaben rum, wo ich nicht dahinter komme.
Hoffe hier kann mir wer helfen!

1. Sei M eine beliebige Menge.
Zeigen Sie: Es gibt keine surjektive Abbildung f von M auf die Potenzmenge P(M).
Beachten Sie die Menge Bf := { x € M | x nicht€ f(x)}

2.
Sei R eine reflexive, transitive Relation auf M. Sei $\begin{eqnarray*} R^{-1} := {(y,x)\in M x M | (x,y) \in R\}} \end{eqnarray*}$ und Sei $\begin{eqnarray*} S := R geschnitten R^{-1} \end{eqnarray*}$ .
Zeige das S eine Äquvalenzrelation auf M ist.

02.11.2006, 17:45

Shurakai

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Weißt du denn was du zeigen musst?

Bei 1. hilft dir eigentlich schon die Definition von surjektiv weiter.

Bei 2. musst du auch die Symmetrie zeigen.

02.11.2006, 18:07

Susi1987

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Ist nicht so einfach .. Was ich zeigen muss ist mir klar aber der Ansatz fehlt mir.

02.11.2006, 18:20

Mathespezialschüler

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Zu 1.: Hier wurde schon ein nicht zu kleiner Tipp gegeben. Augenzwinkern

Für die zweite Aufgabe wäre es nützlich, $\begin{eqnarray*} R=R^{-1} \end{eqnarray*}$ zu zeigen, dann bist du ja im Prinzip schon fertig.

Gruß MSS

02.11.2006, 19:13

Susi1987

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Du meinst das inverse von R ist das gleiche wie R? und geschnitten ists dann auch R und S somit R und äquivalent?

und zum 1. - danke recht verständilich.

02.11.2006, 19:46

Mathespezialschüler

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Ja, da sie gleich sind, ist auch ihr Schnitt $\begin{eqnarray*} S=R \end{eqnarray*}$ und da dies eine Äquivalenzrelation ist, ist auch $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ eine. Aber du musst noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} R=R^{-1} \end{eqnarray*}$ gilt.

Gruß MSS

02.11.2006, 22:07

Susi1987

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Das einzige was von R gegeben ist, ist das x und y enthalten sind und das es ne Abbildung auf M x M ist, welches wiederum y, x als Elemente hat - seh nich wirklich grad durch wie ich R = R^{-1} zeigen soll ... unglücklich

02.11.2006, 22:13

Mathespezialschüler

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Du musst $\begin{eqnarray*} (x,y)\in R\Rightarrow (x,y)\in R^{-1} \end{eqnarray*}$ und die Umkehrung zeigen.

Gruß MSS

03.11.2006, 01:20

Shurakai

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Zitat:

Original von Susi1987
Ist nicht so einfach .. Was ich zeigen muss ist mir klar aber der Ansatz fehlt mir.

Hmmm... verstehe nicht, wo mein Denkfehler liegt. Wenn ich annehme, dass es für jedes x aus der Potenzmenge ein y aus M gilt so dass gilt $\begin{eqnarray*} f(y) = x \end{eqnarray*}$ , dann muss M ja mindestens genausoviele Elemente haben wie die Potenzmenge. Dass das falsch ist, weiß man ja schon über den Satz über die Potenzmenge. Also gibt es Elemente in der Potenzmenge, für die es kein y $\begin{eqnarray*} \in M \end{eqnarray*}$ gibt, so dass gilt: $\begin{eqnarray*} f(y) = x \end{eqnarray*}$ . Also kann es keine Abbildung f geben, die surjektiv ist und von M nach P abbildet....

03.11.2006, 08:48

papahuhn

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@MSS:
Wie kommst du darauf, dass eine reflexive, transitive Relation automatisch symmetrisch ist?

03.11.2006, 19:51

Mathespezialschüler

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@papahuhn
Hatte nicht gelesen, dass sie nur reflexiv und transitiv ist. Dachte, es wäre eine Äquivalenzrelation.
@Shurakai
Es geht ja hier auch um nichtendliche Mengen $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Und da geht das mit dem Satz über die Anzahl der Potenzmenge nicht so einfach!

Gruß MSS

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