Extrema einer Funktion mit zwei veränderlichen?

21.06.2010, 20:23

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Extrema einer Funktion mit zwei veränderlichen?

Hi Leute!

Ich hab folgende Funktion: $\begin{eqnarray*} g(x,y)=2x^3-6xy+3y^2 \end{eqnarray*}$

Nun soll ich folgende Funktion auf alle relativen Extrema und Sattelpunkte überprüfen.

Ich gehe so vor:

a) 1. und 2. partielle Ableitungen der Fkt. machen
b) stationäre Punkte finden [durch (grad)(f(x,y)=0] ( $\begin{eqnarray*} g_x(x,y)=0; g_y(x,y)=0 \end{eqnarray*}$ )
c) stationäre Punkte einsetzen in: $\begin{eqnarray*} \Delta(x_0/y_0)=g_{xx}*g_{yy}-g_{xy}^2 \end{eqnarray*}$

Meine Frage zu Punkt b):

Wenn ich nun $\begin{eqnarray*} g_x(x,y)=0; g_y(x,y)=0 \end{eqnarray*}$ gesetzt habe [wegen (grad)(f(x,y)=0], dann ergibt sich das hier bei mir: $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{y}; x=y \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} y=x^2; y=x \end{eqnarray*}$ Und genau diese errechneten Nst. kann ich ja jetzt schlecht in die Hesse-Matrix in die zweite part. Ableitungen einsetzen. Ich hab da keine Zahlen...; ich gehe nun aber doch davon aus, dass ich diese Punkte einsetzen soll, aber welche der jeweils 2 möglichen Punkte muss ich für $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ in die zweiten part. Ableitungen einsetzen? Oder ist es etwa egal, da jeder der jeweils zwei möglichen Punkte die Anforderung erfüllt?

Könnt ihr mir helfen?

21.06.2010, 21:18

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extrema einer Funktion mit zwei veränderlichen?
Du musst diejenigen Werte für x,y finden, für die beide Gleichungen

$\begin{eqnarray*} \partial_x = 6x^2-6y =0 \qquad (1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \partial_y = 6y-6x =0 \qquad (2) \end{eqnarray*}$

gleichermaßen erfüllt sind, also beide partiellen Ableitungen verschwinden. Fange mit (2) an und setze das in (1) ein. Welche Werte findest du dann? Da ergeben sich konkrete Zahlen.

21.06.2010, 21:26

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \partial_x = 6x^2-6y =0 \qquad (1) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow x^2=y \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \partial_y = 6y-6x =0 \qquad (2) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow y=x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun (2) [also y=x] in (1) einsetze bekomme ich: 6x^2-6x=0 => x=1
Woher weiß ich aber, dass ich y=x in (1) einsetzen muss?

Irgendwie raff ich's nicht...

21.06.2010, 21:30

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mulder

Fange mit (2) an und setze das in (1) ein.

Woher weiß ich das, dass ich mit (2) anfangen soll? Das ist doch bestimmt wieder von Aufgabe zu Aufgabe unterschiedlich!

21.06.2010, 21:35

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst doch nur einsetzen!? Wo gibt es denn da Probleme? Du untersuchst immer nur, für welche Beziehung zwischen x und y eine der beiden Ableitung null wird. Es sind aber die Werte für x,y gesucht, für die gleichzeitig sowohl die partielle Ableitung nach x, als auch die partielle Ableitung nach y verschwinden. Das ist nichts anderes als ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei Unbekannten.

Die Gleichung (2) liefert doch:

$\begin{eqnarray*} 6x-6y=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$

Das hattest du ja auch schon. Nun setze das doch einfach in Gleichung 1 ein. Da steht:

$\begin{eqnarray*} 6x^2-6y=0 \end{eqnarray*}$

Nun ersetze in (1) entweder x durch y, oder y durch x. Solche Gleichungssysteme müssen dir doch vertraut sein!?

Und du hast Recht; womit man hier anfängt, ist völlig egal. Ob also (1) in (2), oder (2) in (1) einsetzen, ist dir überlassen. Geht beides.

21.06.2010, 21:40

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Was mache ich dann hier falsch?

(1) 6x^2-6y=0 => x=\sqrt{y}

in (2) -6*\sqrt{y}+6y=0 => y=\sqrt{y}

Das macht doch jetzt keinen Sinn, oder?

Anzeige

21.06.2010, 21:43

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von bandchef
in (2) -6*\sqrt{y}+6y=0 => y=\sqrt{y}

Das macht doch jetzt keinen Sinn, oder?

Doch, ist völlig richtig so. Für welche y trifft

$\begin{eqnarray*} y = \sqrt{y} \end{eqnarray*}$

denn zu?

21.06.2010, 21:46

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

sind meine stationären Punkt nun $\begin{eqnarray*} x_0=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_0=1 \end{eqnarray*}$

So hab ichs berechnet:

(1) $\begin{eqnarray*} 6x^2-6y=0 \Rightarrow x^2=y \rightarrow \text{einsetzen in (2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} -6x+6y \Rightarrow y=x \rightarrow \text{einsetzen in (1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=1 \end{eqnarray*}$

21.06.2010, 21:50

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extrema einer Funktion mit zwei veränderlichen?
Der Punkt $\begin{eqnarray*} E_1= (1,1,f(1,1)) \end{eqnarray*}$ ist in jedem Fall ein stationärer Punkt, ja. Es gibt aber noch einen zweiten Punkt.

21.06.2010, 22:02

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Mein zweiter Punkt:

$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{y} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$

21.06.2010, 22:04

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist jetzt Blödsinn. Du suchst KONKRETE ZAHLEN, für die

$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{y} \end{eqnarray*}$

zutrifft. Und ich behaupte, dass es neben der 1 noch eine weitere Zahl gibt, die das erfüllt.

21.06.2010, 22:14

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab dir jetzt mal meine Rechnung hochgeladen... Bitte meine Rechnung immer parallel lesen; das "und zugleich" ist meiner Meinung nach wichtig!

21.06.2010, 22:20

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extrema einer Funktion mit zwei veränderlichen?
Meine Güte, es geht doch bloß darum, dass es noch einen Punkt gibt.

$\begin{eqnarray*} x=y=1 \end{eqnarray*}$

hast du doch völlig richtig ausgerechnet. Wenn du für x und für y 1 einsetzt, werden beide Ableitungen null.

Allerdings wäre es schon zu verlangen gewesen, dass du auch die Lösung x=y=0 findest. Oder ist bei dir nicht

$\begin{eqnarray*} 0 = \sqrt{0} \end{eqnarray*}$

?

21.06.2010, 22:21

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich könnte ich jetzt das $\begin{eqnarray*} y=\sqrt{y} \end{eqnarray*}$ auf "beiden Seiten quadrieren". Dann kürzt sich ja wieder alles auf $\begin{eqnarray*} y=1 \end{eqnarray*}$ zusammen; aber "auf beiden Seiten quadrieren" ist doch in diesem Fall keine äquivalente Umformung und somit hier unzulässig, oder?

21.06.2010, 22:25

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extrema einer Funktion mit zwei veränderlichen?
Wenn es wirklich immer noch nicht klar ist, dann geb ich es auf. Vielleicht hat jemand anders, dessen pädagogischen Fähigkeiten ausgereifter sind, mehr Glück.

22.06.2010, 10:57

Martina_Gast

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extrema einer Funktion mit zwei veränderlichen?
Hi,
stationäre Punkte sind (1,1) und (0,0), weil sie die Gleichungssystem des Gradienten =0 erfüllen
schau mal die Hessematrix,
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 12x-6 & 0\\ 0 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
bei(1,1) ist die Matrix positiv definit, dh stat Punkt ist min
bei (0,0) ist die Matrix indefinit, dh kein Extremum, sondern Sattelpunkt
ich habe die Frage noch, ob es sich bei (0,0) auch noch um einen singulären Punkt handelt...

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »