Funktionenfolge, punktweise Konvergenz

21.06.2010, 21:47	komplexer	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionenfolge, punktweise Konvergenz Hallo, ich möchte zeigen, dass die Funktionenfolge: $\begin{eqnarray} f_{n}:[0,1]\to\mathbb{R},\quad x\mapsto\mathrm{max}\left\{ n-n^{2}\|x-\frac{1}{n}\|,0\right\} \end{eqnarray}$ punktweise gegen 0 konvergiert. für x=0 ist das ja klar, denn dann gilt: $\begin{eqnarray} f_n(0)=0 \end{eqnarray}$ aber wie mache ich das für $\begin{eqnarray} x\neq0 \end{eqnarray}$ ? Ich muss ja ein n finden ab dem gilt: $\begin{eqnarray} \|f_{n}(x)-f(x)\|<\varepsilon \end{eqnarray}$ , also in diesem Fall $\begin{eqnarray} \|f_{n}(x)\|<\varepsilon \end{eqnarray}$ gibt es da ein Schema? Ich hab keine Ahnung wie das machen soll.
21.06.2010, 22:04	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte sich z.B. mal die folgenden beiden Überlegungen machen: $\begin{eqnarray} \|x-\frac{1}{n}\| \rightarrow \|x\| \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n-\alpha n^2 \rightarrow -\infty \quad \forall \alpha > 0, \alpha \text{ konstant} \end{eqnarray}$ Die beiden Überlegungen musst du jetzt bloss noch korrekt verarbeiten...
27.06.2010, 22:34	komplexer	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo gonnabphd, auch nach intensivem Grübeln habe ich leider keine Idee, wie ich das machen soll.
27.06.2010, 23:04	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Na gut, dann versuche ich es noch ein bisschen deutlicher rüberzubringen: $\begin{eqnarray} \|x-\frac{1}{n}\| \rightarrow \|x\| \end{eqnarray}$ heisst insbesondere, dass für fast alle n gilt: $\begin{eqnarray} \|x-\frac{1}{n}\| \geq \frac{\|x\|}{2} > 0 \end{eqnarray}$
28.06.2010, 15:08	komplexer	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Warum gilt das? und b) was bringt mir das?
28.06.2010, 19:36	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu b): Definiere $\begin{eqnarray} \alpha:=\frac{\|x\|}{2} \end{eqnarray}$ und schau dir meine erste Antwort nochmal an. Zu a): ... Edit: Definition der Konvergenz mit epsilon := \|x\|/2
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