matrix hoch 2010 - Seite 2

25.06.2010, 13:53

Zumindest gibt er damit eine Motivation, wozu Diagonalisierung auch nichtsymmetrischer Matrizen nützlich sein kann.

Bei symmetrischen Matrizen hat er ja ohnehin genug Beispiele, z.B. Hauptachsenttransformation bei Kegelschnitten usw.

25.06.2010, 13:57

Reneee

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In unserer letzten Vorlesung haben wir uns mit linearen Gleichungssystem beschäftigt. Also mit homogenen und inhomogenen.Außerdem mit Lösungsräumen und haben ein paar Sätze über den Rang für den Lösungsraum bekommen.

Kann man nichts davon hierauf anwenden? X_X

Hier auch nochmal der genaue Wortlau der Aufgabenstellung, nicht das wir hier was falsch verstehen ( auch wen ich das nicht glaube X_X ) :

Wir betrachten die reele 3x3 - Matrix

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} -7 & -12 & 10 \\ -6 & -13 & 10 \\ -12 & -24 & 19 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Berechnen Sie die Matrixpotenz $\begin{eqnarray*} A^{2010} \end{eqnarray*}$ = A * A * A * ... * A , wobei die Matrix A genau 2010-mal vorkommt.

25.06.2010, 14:07

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Es gibt da noch folgende Möglichkeit: Du schreibst die ersten paar geradzahligen Potenzen $\begin{eqnarray*} A^2, A^4, A^6, \end{eqnarray*}$ auf und erkennst dann die Vermutung

$\begin{eqnarray*} A^{2k} = \begin{pmatrix} 241^k & 0 & 0 \\ 241^k-1 & 1 & 0 \\ \frac{6}{5}\left( 241^k-1 \right) & -\frac{6}{5}\left(241^k-1 \right) & 241^k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb{N}. \qquad (*) \end{eqnarray*}$

Für den anschließenden Beweis per vollständiger Induktion brauchst du keine Diagonalisierung, sondern im Induktionsschritt nur $\begin{eqnarray*} A^{2(k+1)} = A^{2k}\cdot A^2 \end{eqnarray*}$ lediglich die Kenntnis der Definition der Matrizenmultiplikation. Augenzwinkern

Die eigentliche Schwierigkeit ist doch aber das Erkennen von (*), und da ist die Diagonalisierung der wesentlich geradlinigere Weg. smile

25.06.2010, 19:20

Vanylar

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Hab die gleiche Aufgabe und vermute einfach mal,dass wir alle bei demselben Prof sind Augenzwinkern

Auf der LinA Homepage steht, dass in der letzten Zeile eine -12 und keine 12 stehen soll. Mit dieser Info ließ sich die Aufgabe dann sehr schnell lösen. Big Laugh

25.06.2010, 19:26

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Zitat:

Original von Vanylar
Auf der LinA Homepage steht, dass in der letzten Zeile eine -12 und keine 12 stehen soll.

Das macht Sinn. Big Laugh

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit, die deine beiden Kommilitonen aber gewaltig haben vermissen lassen: In einem so langem Thread muss man doch mal hinterfragen, ob man alles richtig hingeschrieben hat! Finger1

25.06.2010, 22:52

Reneee

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Bitte schaut nochmal in meinen letzten Post , als ich die Matrix aufschrieb ...

Jedenfalls habe ich wohl verpasst, was genau das nun ändern soll?

25.06.2010, 23:10

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Da muss man ja schon fast blind sein, um das nicht zu erkennen: Rechne doch mal $\begin{eqnarray*} A^2 \end{eqnarray*}$ aus!

25.06.2010, 23:14

Reneee

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Ja habe ich schon gerade gemacht. Bis A^5 oder so jetzt , das alterniert immer X_X
Jetzt muss ich nur mal ganz scharf darüber nachdenken , bei was es wohl bei A^2010 stehen bleibt.Wenn ich mich gedanklich um auch nur einen verzähle doer so lande ich beim Falschen Big Laugh

Edit : Hier also meine Vermutung

Die Matrix $\begin{eqnarray*} A^{2010} \end{eqnarray*}$ lautet

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist jemand von euch anderer Meinung? ^^

25.06.2010, 23:20

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Zitat:

Original von Reneee
Ja habe ich schon gerade gemacht. Bis A^5 oder so jetzt , das alterniert immer X_X

Alterniert???

Mal ganz konkret: Wie sieht $\begin{eqnarray*} A^2 \end{eqnarray*}$ aus?

25.06.2010, 23:27

Reneee

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$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} -7 & -12 & 10 \\ -6 & -13 & 10 \\ -12 & -24 & 19 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^3 = \begin{pmatrix} 7 & 12 & -10 \\ 6 & 13 & -10 \\ 12 & 24 & -19 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^4 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun also $\begin{eqnarray*} A^4 \end{eqnarray*}$ 502 mal anwende lande ich bei $\begin{eqnarray*} A^{2008} \end{eqnarray*}$ . Gehe ich nun noch 2 weiter lande ich wieder bei

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mit alternieren meine ich, dass es zwischen der einsermatrix da un der Normalen wechselt und außerdem die Vorzeichen der normalen Matrix alle 2 mal vertauscht werden. Augenzwinkern

25.06.2010, 23:30

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Nein. $\begin{eqnarray*} A^2 \end{eqnarray*}$ ist einfach die Einheitsmatrix $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ .

Schon seltsam, dass du das nicht selber merkst: Selbst wenn $\begin{eqnarray*} A^2=-E \end{eqnarray*}$ stimmen würde, so wäre dann doch $\begin{eqnarray*} A^4 = (A^2)^2 = (-E)^2 = E \end{eqnarray*}$ , also nicht wieder $\begin{eqnarray*} -E \end{eqnarray*}$ . Ziemliches Versagen einfacher Kontrollmechanismen. unglücklich

25.06.2010, 23:35

Reneee

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Oh ich hab da irgendwie immer falsch im Kopf gerechnet. Wo kam bei mir denn nur immer das minus her? hehe smile

Edit : Also kommt halt einfach die Einheitsmatrix raus , schwere Geburt,obwohls doch garnicht so schwer ist. smile

27.06.2010, 13:58

Hans Peter

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@ Reneee: Wie hast du das hinbekommen, dass deine Matrix A²=E (Einheitsmatrix)? Vllt. wieß es jmd. anders?!

Ich habe nur diese Übliche Matrix - Jedoch weiß ich es nicht, wie man hier die Matix ''ordentlich'' hinschreibt...

.......(241 0 0)
A²=..(240 1 -90)
.......(288 -288 241)

27.06.2010, 14:12

Reneee

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Schön wenn ich auch mal jemandem helfen kann. ^^

Also die Matrix lautet ja

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -7 & -12 & 10 \\ -6 & -13 & 10 \\ -12 & -24 & 19 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese multiplizierst du nun einfach miteinander

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -7 & -12 & 10 \\ -6 & -13 & 10 \\ -12 & -24 & 19 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -7 & -12 & 10 \\ -6 & -13 & 10 \\ -12 & -24 & 19 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Weißt du denn , wie man Matrizen ordentlich multipliziert?

Und hast du auch wirklich genau diese Matrix wie da oben?

ps : Matrizen kann man hier vernünftig schreiben. Dazu musst du nur, wärend du deinen Post schrebst , unter dem Schreibfeld schauen. Da gibt es den sogenannten Formeleditor. Du wählst da die Matrix aus und schreibst deine Werte darein.

27.06.2010, 14:26

Hans Peter

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Schön, dass du mir auch hier hilfst, mit allem, was du kannst Reneee! smile

Matrizen multiplizieren? - Wir haben es in der Schule immer so gemacht:
A * A = A"

dabei haben wir immer zeile mal spalte mit einenader multpliziert, um die erste Zahl in der Matrix zu bekommen, also:

(ich führe es ffür die erste Zahl mal vor):
(-7)*(-7) + (-6)*(-12) + 12*10 = 49 + 72 +120 = 241

Und soweiter und sofort. Aber wahrschenlich macht man es anders... Könntest du es mir denn vllt. auch verraten? WENN du doch schon so lieb bist! Augenzwinkern

27.06.2010, 14:31

Reneee

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Du hast da ein - vergessen...

Edit : Und wenn ich mir deine oben angegebene Matrix ansehe erkenne ich sofort, dass du wohl sehr viele - vergessen hast. Big Laugh

27.06.2010, 14:34

Hans Peter

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Danke!!

Was für ein toller Helfer du doch bist! Augenzwinkern

27.06.2010, 14:37

Reneee

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Gerne gerne , vergiß aber nicht, dass die Einheitsmatrix rauskommen muss. Bevor du wieder ein paar - vergisst. Augenzwinkern

27.06.2010, 14:46

Hans Peter

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..Ne, jetzt habe ich alles richtig gemacht, jetzt kommt bei mir jedes 2. mal die E raus. Es lag NUR an dem bösen Vorzeichen.. Und vllt. ein wenig an mir.. ^^

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