Gliedweises Differenzieren einer Reihe

22.06.2010, 13:53	stereo	Auf diesen Beitrag antworten »
Gliedweises Differenzieren einer Reihe Hallo, ich hab folgende Reihe: $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{\pi^2}{3} + 4 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \cos nx \end{eqnarray}$ Das ist die Fourierentwicklung von $\begin{eqnarray} f(x)=x^2 \end{eqnarray}$ im Intervall $\begin{eqnarray} [-\pi, \pi] \end{eqnarray}$ . Ich soll jetzt schauen wie oft ich die Reihe gliedweise differenzieren kann, und gegen welche Funktion die Ableitungen konvergieren. Also Ana I ist jetzt schon fast 2 Jahre her und ich bin mir nicht sicher ob ich wirklich gezeigt habe dass die Reihe gleichmäßig konvergiert. Ich hab es so versucht: $\begin{eqnarray} f_n = \frac{(-1)^n}{n^2} \cos nx \leq \frac 1 n^2 \rightarrow 0 \quad (n \rightarrow \infty) \end{eqnarray}$ Die Ableitung konvergiert ebenso gleichmäßig gegen die Nullfunktion. $\begin{eqnarray} (f_n)' = \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin nx \rightarrow 0 \quad (n \rightarrow \infty) \end{eqnarray}$ (Beide Grenzfunktionen sind gleich der Nullfunktion) Da beide gleichmäßig konvergieren kann ich Reihe und Ableitung vertauschen. Also gilt: $\begin{eqnarray} \frac{\dd}{\dd x} \left( \frac{\pi^2}{3} + 4 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \cos nx \right) = 4 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin nx \end{eqnarray}$ Wenn ich jetzt nochmal versuch abzuleiten sehe ich folgendes: $\begin{eqnarray} (f_n)'' = (-1)^{n+1} \cos nx \end{eqnarray}$ Diese Folge ist zwar beschränkt, aber divergent. Also kann ich nur einmal ableiten. Stimmt das so ? Danke für eure Hilfe

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