Funktionen gleichsetzten x^2=2^x

22.06.2010, 15:07

kameljoe

Funktionen gleichsetzten x^2=2^x

Hallo Zusammen
Ich bin neu im Forum und habe bereits meine erste Frage. Ich versuche eine Quadratische- und eine Exponentialfunktion gleichzusetzten.

Die Aufgabe ist folgende:
$\begin{eqnarray*} x^{2}=2^{x} \end{eqnarray*}$

Folgender Lösungsansatz habe ich bereits:

$\begin{eqnarray*} x^{2}=2^{x} <br /> 2*ln(x)=x*ln(2)<br /> \frac{2}{ln(2)}=\frac{x}{ln(x)} <br /> x=ln(x)* \frac{2}{ln(2)} \end{eqnarray*}$

Meine Frage ist nun, wie kann ich komplett nach x auflösen? Wie kriege ich das ln(x) auch noch auf die linke Seite? Kann mir jemand weiterhelfen?
Besten Danke für die Unterstützung!

mfg

code:
1:	[plot=null,null]null[/plot]

Ungültige Plottanweisung unwirksam gemacht.
Gualtiero

22.06.2010, 15:15

Airblader

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Ein analyisches Lösen ist hier nicht möglich.
Eine Lösung sollte aber sofort ins Auge springen. Eine zweite errät man auch leicht. Dann bleibt zu schauen, ob es noch eine weitere geben kann.

air

22.06.2010, 17:19

kameljoe

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Besten Danke für die rasche Antwort!

Ich habe den Durchblick aber immer noch nicht so ganz.
Wenn ich die Gleichung meinen Rechner lösen lasse, kriege ich folgende Resultate: x=-0.766665 or x=2 or x=4

Ich habe aber keine Ahnung wie man ohne den Lösungsweg aufzuschreiben auf diese Resultate kommt.

Gibt es keinen anderen Lösungsansatz?

22.06.2010, 17:37

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Im Grunde genommen greifen bei solchen "exotischen" Gleichungen zwei Prinzipien:

1.Erraten der Lösungen - klingt nicht mathematisch, ist aber legitim, vor allem dann in Verbindung mit

2.Beweis, das es keine weiteren Lösungen gibt - meist durch Betrachten passender zugeordneter Funktionen.

Für 2. sind folgende Eigenschaften hilfreich:

Zitat:

(a) Ist eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ streng monoton, dann besitzt sie dort höchstens eine Nullstelle.

(b) Ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig im Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ und gilt $\begin{eqnarray*} f(a)\cdot f(b) < 0 \end{eqnarray*}$ , dann gibt es im Intervall $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ mindestens eine Nullstelle (Zwischenwertsatz).

(c) Gelten sowohl (a) als auch (b), dann gibt es genau eine Nullstelle im Intervall $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Natürlich kann man die Gleichung mit LambertW beackern, und damit auch alle drei reellen Lösungen darstellen, aber das lassen wir mal außen vor. Augenzwinkern

22.06.2010, 20:49

kameljoe

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Super Sache! Ich danke euch herzlich für die raschen Antworten. Lg.

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