Aufg: Gibt es lin. Abb. von R^4 -> R^3 für ... ?

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22.06.2010, 18:26	gggast	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufg: Gibt es lin. Abb. von R^4 -> R^3 für ... ? Hallo zusammen, steh grad auf Schlauch wie ich hier vorgehe. Aufgabe: Gibt es eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(a_i) = b_i \end{eqnarray}$ für folgende Werte? Dann sind $\begin{eqnarray} a_1 \dots a_4 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_1 \dots b_4 \end{eqnarray}$ gegeben. Meine Vermutung wäre erstmal, dass ich $\begin{eqnarray} a_i \end{eqnarray}$ 's als Spaltenvektoren von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ auffasse, $\begin{eqnarray} b_i \end{eqnarray}$ 's Als Spalten von $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ . Dann wäre $\begin{eqnarray} F A = B \end{eqnarray*}$ . (F müsste ja 3x4, A 4x4 und B 3x4 sein.) Sehe ich das so richtig? Sollte es bis dahin stimmen, macht man ja gewöhnlich eine der Matrizen mit Gauß-Algorithmus zur Einheitsmatrix.. Allerdings bin ich grad total verwirrt. Ich hoffe Ihr könnt mir da weiterhelfen.. Gruß Felix
22.06.2010, 18:31	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Gib mal die Vektoren an ... Ich ahne etwas ...
22.06.2010, 18:50	gggast	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a_1 = (1,1,0,0) ; a_2 = (1,1,1,0) ; a_3 = (0,1,1,1) ; a_4 = (0,0,1,1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_1 = (1,2,3); b_2 = (2,3,1); b_3 = (3,1,2); b_4 = (2,0,4) \end{eqnarray}$ Die hab ich mir direkt in Spalten hingeschrieben, ist mir angenehmer und hoffentlich gleich richtig.
22.06.2010, 19:01	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, geht es noch weiter? Denn schon der Existenz- und Eindeutigkeitssatz (3.8 in diesem Skript) liefert dir, dass es so eine Abbildung gibt. Du müsstest nur überprüfen, ob die a_i eine Basis bilden.
22.06.2010, 19:10	phlex	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Aufgabe lautet "Gibt es .." und ich würd mal sagen die lineare Unabhängigkeit sieht man. Vielen Danke, damit wär die Aufgabe schonmal geklärt. Wenn du trotzdem einen Tipp hättest, wie ich in diesem Fall die Matrix F ausrechnen kann, wäre super.
22.06.2010, 19:27	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmmm ... tja ... das ist sehr aufwändig, aber vielleicht hat ja auch noch jemand einen anderen Tipp. Ich muss dazu sagen, dass wir - wenn überhaupt - seinerzeit immer nur Basen vom Kern und des Bildes bestimmt haben. Also, du kannst deine Abbildung mit einer Matrix darstellen. Es existiert eine Matrix A und es gilt dann: $\begin{eqnarray} f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3, \; f(a) = A \cdot a \end{eqnarray}$ Du könntest jetzt deine Matrix allgemein so aufschreiben: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ y_1 & y_2 & y_3 & y_4 \\ z_1 & z_2 & z_3 & z_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Sooo, jetzt klatscht du deine a_i an die Matrix dran und multiplizierst aus. Was rauskommen soll, sind die b_i. Das machst du mit allen Vektoren und bekommst ein großes LGS, was du hoffentlich lösen kannst, immerhin weisst du, dass es eine Abbildung gibt. Ich mach das mal eben für das erste Paar (a_1, b_1): $\begin{eqnarray} A \cdot \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \Leftrightarrow \begin{Bmatrix}x_1 + x_2 = 1 \\ y_1 + y_2 = 2 \\ z_1 + z_2 = 3\end{Bmatrix} \end{eqnarray}$ Das dauert zwar ziemlich lange, aber es klappt, denke ich. Ansonsten würd mir wenig einfallen, um ehrlich zu sein ...
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22.06.2010, 19:37	phlex	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, hatte ein bisschen auf 'nen speziellen Trick gehofft, aber dann werd ich es so versuchen. Nochmal Danke.
22.06.2010, 19:42	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Stelle die Standardbasis mit Hilfe der $\begin{eqnarray} a_i \end{eqnarray}$ 's dar und berechne so die Bilder der Standardbasis. Diese sind dann bekanntlich die Spalten der gesuchten Matrix.
22.06.2010, 19:49	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach ja ... da war doch so etwas ... meine Güte, wie schnell man alles vergisst ...
22.06.2010, 19:58	phlex	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, hört sich gut. Da werd ich mich jetzt mal reindenken. Zu den LGS: Es geht schneller als ich dachte, zumindest in diesem Fall. Dann ist F = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \\ 5 & -2 & -2 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Onlinerechner sagt F*A = B.

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