exakte werte für sin cosinus un tangens vonpi/3 pi/4 und pi/6

Neue Frage »

22.06.2010, 19:08	JD	Auf diesen Beitrag antworten »
exakte werte für sin cosinus un tangens vonpi/3 pi/4 und pi/6 Meine Frage: hallo kann mir mal jemand helfen und ganz schnell sagen wie ich diese exakten werte berechen(ohne taschenrechner)für x=pi/4 hab ich es aber der rest geht noch nicht. bitte helft mir. Meine Ideen: ansätze hab ich nur die beziehnungen zwischen sinus und cos.
22.06.2010, 19:29	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Male ein Dreieck $\begin{eqnarray} ABC \end{eqnarray}$ mit rechtem Winkel bei $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ , Kathetenlängen 1. Dann findest du einen Winkel mit 90° und wenn du die Hypotenuse halbierst und diesen Mittelpunkt mit $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ verbindest kriegst du einen Winkel von 45° und kannst damit den Sinus/Cosinus ausrechnen. Tangens sollte kein Problem sein. Edit: Unsinn entfernt.
22.06.2010, 19:46	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die restlichen Werte nutze ein gleichseitiges Dreieck, denn dieses hat drei Winkel mit 60°.
22.06.2010, 20:08	JD	Auf diesen Beitrag antworten »
ne wir sollen das mit additiontheoremen oder beziehungen zwischen sinus und cosinus und tangens lösen.
22.06.2010, 20:09	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Und was darfst du dann verwenden?
22.06.2010, 20:16	JD	Auf diesen Beitrag antworten »
ja die additionstheoreme zb. oder sin^2(x) + cos^2(x) = 1
Anzeige

22.06.2010, 20:19	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Und welche speziellen Werte darfst du nutzen? Wie hast du es denn für $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray}$ gemacht?
22.06.2010, 20:26	JD	Auf diesen Beitrag antworten »
also: x= /pi/4 $\begin{eqnarray} \cos^{2} (\pi/4) + sin^{2} (\pi/4) =1<br /> <br /> da \cos(\pi/4) = \sin(\pi /4)<br /> <br /> \sin^{2} (\pi/4) + sin^{2} (\pi/4) =1<br /> <br /> 2\sin^{2} (\pi/4) =1<br /> <br /> \sin^{2} (\pi/4) =1/2 <br /> <br /> \sin(\pi/4) =\sqrt{1/2} \end{eqnarray*}$ und jetzt muss man ja nur noch in die anderen einsetzen
22.06.2010, 20:29	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wo hast du bewiesen, dass $\begin{eqnarray} \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \end{eqnarray}$ ?
22.06.2010, 20:33	JD	Auf diesen Beitrag antworten »
das kannst du heirmit machen: $\begin{eqnarray} \cos(x) = \sin(\pi /2 - x) \end{eqnarray}$
22.06.2010, 20:37	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Tja, deswegen frage ich was du nutzen kannst: Dazu muss man auch erst $\begin{eqnarray} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 \end{eqnarray}$ wissen und dass der Cosinus eine gerade Funktion ist. Dass $\begin{eqnarray} \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 \end{eqnarray}$ kam mit der Definition der Zahl $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ ?
22.06.2010, 20:39	JD	Auf diesen Beitrag antworten »
ja genau das wissen wir alles doch bei \pi/3 und \pi/6 komm ich nicht drauf.
22.06.2010, 22:49	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, für $\begin{eqnarray} \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \end{eqnarray}$ habe ich mir was überlegt: Nutze $\begin{eqnarray} -1=\exp(i\pi)=\exp\left(i\cdot3\frac{\pi}{2}\right)=\left(\exp\left(i\frac{\pi}{2}\right)\right)^3=...\quad() \end{eqnarray}$ Nun nutze die Eulersche Formel und die Binomische Formel für hoch 3. Dann siehst du, dass dies eigentlich eine reelle Zahl ist [weil es gerade gleich -1 ist], also ist der Imaginärteil Null. Dividiere dann die Gleichung durch $\begin{eqnarray} \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \end{eqnarray}$ [wieso geht das?] und nutze noch einmal $\begin{eqnarray} \sin^2(z)+\cos^2(z)=1 \end{eqnarray}$ . Dann hast du den Wert berechnet. Nun betrachte den Realteil von (). Nutze den nun bekannten Wert für $\begin{eqnarray} \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cos^3\left(\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cdot\cos^2\left(\frac{\pi}{3}\right) \end{eqnarray}$ . Nun nochmal den trigonometrischen Pythagoras und du kannst den Cosinus-Wert ausrechnen.

Neue Frage »

Antworten »

exakte werte für sin cosinus un tangens vonpi/3 pi/4 und pi/6

Verwandte Themen