Hilfe beim Binominalkoeffizienten

22.06.2010, 19:37

chris2088

Hilfe beim Binominalkoeffizienten

Meine Frage:
Hallo zusammen, ich brauch unbedingt eure Hilfe. Vermutlich steh ich grad nur auf dem Schlauch(hoffe ich zumindest).
Und zwar soll ich beweisen das:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac{n!}{k!*(n-k)!} \end{eqnarray*}$
ich sitz da jetzt bestimmt schon ne stunde dran, bekomm es aber einfach nicht raus.
wär super wenn mir jemand helfen könnte.

Meine Ideen:
..

22.06.2010, 20:44

Zellerli

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Das kannst du genauso gut beweisen wie $\begin{eqnarray*} \sqrt{b^2}=b \end{eqnarray*}$ (für $\begin{eqnarray*} b>0 \end{eqnarray*}$ ).
Oder wie $\begin{eqnarray*} n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1 \end{eqnarray*}$ .
Oder wie $\begin{eqnarray*} |a| =\begin{cases} a \text{ für } a >0 \\ -a \text{ für } a<0 \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Nämlich garnicht!

Der Binomialkoeffizient ist in der Regel so definiert, wie du es gerade beschreibst. Das heißt du kannst garnichts beweisen, es sei denn du hast eine andere Definition in der Hinterhand, die du einsetzen kannst und mit der du auf $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \end{eqnarray*}$ kommst.

Definitionen kann man nicht beweisen.
Wenn ich dir sage: Beweise, dass ein auf der Spitze stehendes gleichseitiges Dreieck mit rotem Rand und weißer Innenfläche für "Vorfahrt achten" steht, wie würdest du dann vorgehen?
Du könntest mir höchstens die StVO aufschlagen und sagen: Da stehts, so ist es definiert. Aber bewiesen hast du damit nichts.

22.06.2010, 20:53

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Ich will chris2088 nicht gleich so verdammen, aber ihm zumindest vorwerfen, dass er mit keiner Silbe diejenige Defintion des Binomialkoeffizienten nennt, von der er hier ausgehen will:

Schließlich könnte man $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} \end{eqnarray*}$ auch primär definieren als die $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -te Zahl in der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -ten Zeile des Pascalschen Dreiecks - nur ein Gedanke, um die Aufgabe irgendwie sinnvoll zu machen. verwirrt

22.06.2010, 21:39

Mystic

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Schließlich könnte man $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} \end{eqnarray*}$ auch primär definieren als die $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -te Zahl in der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -ten Zeile des Pascalschen Dreiecks - nur ein Gedanke, um die Aufgabe irgendwie sinnvoll zu machen. verwirrt

Ich merke mit großer Befriedigung an, dass ein oft gehörter Einwand gegen $\begin{eqnarray*} 0 \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , nämlich dass "man ja bei 1 zu zählen beginnt", ganz offensichtlich heutzutage nicht mehr gilt, da Arthur die hier verwendete 0-basierte Zählweise nicht einmal mehr eine Erwähnung wert war... Augenzwinkern

@topic

Eine naheliegende Definition von $\begin{eqnarray*} \binom nk \end{eqnarray*}$ ist noch

$\begin{eqnarray*} \binom nk = \frac {n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot(n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot k} \end{eqnarray*}$

welche überdies den Vorteil hat, dass sie i.allg. auch die beste Art der Berechnung darstellt (nach ev. Ersetzung von k durch min(k,n-k)) und sie überdies auch für k>n noch funktioniert...

22.06.2010, 21:46

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Zitat:

Original von Mystic
Ich merke mit großer Befriedigung an, dass ein oft gehörter Einwand gegen $\begin{eqnarray*} 0 \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , nämlich dass "man ja bei 1 zu zählen beginnt", ganz offensichtlich heutzutage nicht mehr gilt, da Arthur die hier verwendete 0-basierte Zählweise nicht einmal mehr eine Erwähnung wert war...

Die Gründe liegen auch darin, dass ich bevorzugt mit C/C++ programmiere. Augenzwinkern

22.06.2010, 21:59

Zellerli

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Habe auch gesagt:

Zitat:

Das heißt du kannst garnichts beweisen, es sei denn du hast eine andere Definition in der Hinterhand, die du einsetzen kannst

Ansonsten hält sich ein aufrechter Deutscher an das Deutsche Institut für Normung. Andere Länder mögen da berechtigte Zweifel haben, aber bei uns gilt:
$\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \stackrel{\text{DIN5473}}{:=}\{0,1,2,3,...\} \end{eqnarray*}$

Ich finde aber auch, dass 0 keine natürliche Zahl ist.

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