Bestimmtes Integral mit Summen

22.06.2010, 20:45

schmiddi86

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Bestimmtes Integral mit Summen

Meine Frage:
Hallo,

für eine Übung muss ich das Integral
$\begin{eqnarray*} \int_0^2 \! x^3 \, dx \end{eqnarray*}$
berechnen.
Normalerweise kein Problem, allerdings soll dies mithilfe von Summen geschehen, und damit sind nicht Ober und Untersumme gemeint.

Als Hinweis gab unser Prof uns mit:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2 \end{eqnarray*}$

Leider habe ich keinen Schimmer wie ich das ganze Angehen soll....

Kann mir jemand weiterhelfen?

Danke!

Meine Ideen:
Man kann doch das Integral auch als den Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse deuten oder?
Könnte man dass auch dann so berechnen? Wenn ja wie?

22.06.2010, 21:27

tmo

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RE: Bestimmtes Integral mit Summen, bin etwas verwirrt...

Zitat:

Original von schmiddi86
Meine Frage:
Hallo,

für eine Übung muss ich das Integral
$\begin{eqnarray*} \int_0^2 \! x^3 \, dx \end{eqnarray*}$
berechnen.
Normalerweise kein Problem, allerdings soll dies mithilfe von Summen geschehen, und damit sind nicht Ober und Untersumme gemeint.

Als Hinweis gab unser Prof uns mit:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2 \end{eqnarray*}$

Wer sagt das? Der Hinweis lässt erahnen, dass genau das gemeint ist.

22.06.2010, 21:50

schmiddi86

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RE: Bestimmtes Integral mit Summen, bin etwas verwirrt...
Ich gehe einfach davon aus, da in einer anderen Aufgabe der Hinweis steht, dass die Berechnung mittels der Hauptsatzes der Integralrechnung erfolgen soll...

Könntest du mir mal bitte zeigen, wie du es lösen würdest?

Danke!

23.06.2010, 11:32

Kühlkiste

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RE: Bestimmtes Integral mit Summen, bin etwas verwirrt...

Zitat:

Original von schmiddi86
Könntest du mir mal bitte zeigen, wie du es lösen würdest?

$\begin{eqnarray*} \int_0^2 x^3~\dd x=\lim_{n\to\infty}\frac 2n\sum_{k=1}^n\left(\frac {2k}n\right)^3=\ldots=4 \end{eqnarray*}$

23.06.2010, 12:18

schmiddi86

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RE: Bestimmtes Integral mit Summen, bin etwas verwirrt...
Danke für deine Antwort.

Wenn du mir das noch etwas ausführlicher aufschreiben/erklären könntest, wäre ich dir sehr dankbar!

Vielen Dank!

23.06.2010, 12:27

tmo

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Hier gibt es keine Komplettlösungen. Du musst jetzt schon Eigeninitiative zeigen.

Es ist jetzt wirklich nicht mehr schwer. Nur noch elementare Termumformung und halt den Hinweis verwenden.

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23.06.2010, 12:34

schmiddi86

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Zitat:

Original von tmo
Hier gibt es keine Komplettlösungen. Du musst jetzt schon Eigeninitiative zeigen.

Es ist jetzt wirklich nicht mehr schwer. Nur noch elementare Termumformung und halt den Hinweis verwenden.

das möchte ich ja auch gar nicht.

Mich interessiert Hauptsächlich wie er die Gleichung mit Grenzwert aufgestellt hat, wie er zum Beispiel auf dern Ausdruck mit dem lim kommt!

23.06.2010, 12:38

tmo

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Er hat das Intervall [0,2] in n gleiche Teile aufgeteilt. Wie man das halt so macht bei der Obersumme.

23.06.2010, 12:47

schmiddi86

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Zitat:

Original von tmo
Hier gibt es keine Komplettlösungen. Du musst jetzt schon Eigeninitiative zeigen.

Es ist jetzt wirklich nicht mehr schwer. Nur noch elementare Termumformung und halt den Hinweis verwenden.

Also dass ganze lässt sich dann ja umformen zu
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{2}{n} \sum\limits_{k=1}^n \left(\frac{2}{n} k\right)^3 \end{eqnarray*}$

Dann zu

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left(\frac{2}{n} \right)^4\sum\limits_{k=1}^n k^3 \end{eqnarray*}$

Was ja durch den Hinweis zu

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left(\frac{2}{n} \right)^4 *\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$

wird.

Richtig?

23.06.2010, 12:49

tmo

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Genau. Jetzt bist du ja fast am Ziel.

23.06.2010, 13:00

schmiddi86

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Zitat:

Original von tmo
Genau. Jetzt bist du ja fast am Ziel.

Wenn ich nun noch ein paar umformungen Vornehme, komme ich doch von

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left(\frac{2}{n} \right)^4 *\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$

zu

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left(\frac{2}{n} \right)^2 * \left(\frac{2}{n} \right)^2 *\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$

dann zu

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left(\frac{2}{n} \right)^2 *\left(\frac{2n(n+1)}{2n}\right)^2 \end{eqnarray*}$

was nach wegkürzen von 2n zu

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left(\frac{2}{n} \right)^2 *(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

führt.
Dann komme ich zu

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left(\frac{2 (n+1)}{n} \right)^2 \end{eqnarray*}$

Dann

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left(\frac{2n+2}{n} \right)^2 \end{eqnarray*}$

Doch wie nun weiter?

23.06.2010, 13:06

tmo

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Der Grenzwert gebrochenrationaler Ausdrücke sind doch eigentlich kein Problem. Einfach durch die höchste Potenz kürzen.

23.06.2010, 13:28

schmiddi86

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Zitat:

Original von tmo
Der Grenzwert gebrochenrationaler Ausdrücke sind doch eigentlich kein Problem. Einfach durch die höchste Potenz kürzen.

Da kann ich doch nun L'Hospital anwenden, oder?

also wird

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left(\frac{2n+2}{n} \right)^2 \end{eqnarray*}$

Zähler und Nenner einzeln abgeleitet zu

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{2*(2n+2)*2}{2n} \end{eqnarray*}$

Dann zu

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{4*(2n+2)}{2n} \end{eqnarray*}$

Dann ausmultipliziert

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{8n+8}{2n} \end{eqnarray*}$

und nochmal nach L'Hospital abgeleitet zu

$\begin{eqnarray*} \frac{8}{2} \end{eqnarray*}$

was ja 4 ist.

Und somit ist
$\begin{eqnarray*} \int_0^2 \! x^3 \, dx = 4 \end{eqnarray*}$

Liege ich richtig?

Oder gibts noch eine andere Möglichkeit als mit L'Hospital?

23.06.2010, 13:54

tmo

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Heidinei. Bitte nehmt l'Hospital aus dem Curriculum.

Du musst doch wissen, wie man einen Grenzwert a la $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{3n^3+7n-4}{5n^3-2n^2} \end{eqnarray*}$ berechnet. Man kürzt durch die höchste Potenz. Das habe ich oben schon bemerkt.

23.06.2010, 14:01

schmiddi86

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Ja, da das aber bei mir schon einige Zeit zurückliegt, habe ich L'Hospital genommen.

Stimmt aber doch auch, oder nicht?

23.06.2010, 14:25

Kühlkiste

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Zitat:

Original von schmiddi86
Ja, da das aber bei mir schon einige Zeit zurückliegt, habe ich L'Hospital genommen.

Stimmt aber doch auch, oder nicht?

Stimmt zwar - aber da mit L'Hospital draufzukloppen ist in etwa so, als würdest Du Dir mit ner Kneifzange die Hose zumachen.

Die entscheidende Umformung hast Du ja schon gemacht:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac 2n \right)^4 \left( \frac{n(n+1)}2 \right)^2=4 \left( \frac{n+1}n \right)^2. \end{eqnarray*}$

Jetzt bedarf es nur noch der Erkenntnis, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}n=1 \end{eqnarray*}$ und dann ist mit den Grenzwertsätzen alles klar.

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