Diagonalisieren mit ONB

22.06.2010, 19:43

Kaninchen

Diagonalisieren mit ONB

Hi Leute,

ich soll folgende Matrix in eine ONB diagonalisieren:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0&2&2\\ 2&0&2\\ 2&2&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Eigenwerte und Eigenvektoren sowieso deren Eigenräume hab ich schon berechnet:
$\begin{eqnarray*} Eig(-2) = \left\{ t\begin{pmatrix} -1\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ 0\\ 1\end{pmatrix} |t,s \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} Eig(4) = \left\{ t\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} | t \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich aber nicht weiter. Eigentlich müssten diese Vektoren ja dann orthogonal zueinander sein, das sind sie aber nicht. Und wähle ich diese Vektoren für t, s = 1 als Spaltenvektoren der Transformationsmatrix und möchte dann D = S^-1 A S berechnen, erhalte ich keine Diagonalmatrix unglücklich

Könnt ihr mir vielleicht weiterhelfen, wo mein Fehler liegt?

Danke für Tipps!

Lieben Gruß

22.06.2010, 19:52

Mazze

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Zitat:

Eigentlich müssten diese Vektoren ja dann orthogonal zueinander sein, das sind sie aber nicht.

Vektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind bei symmetrischen Matrizen automatisch orthogonal. Die Sache ist das Du einen zweidimensionalen Eigenraum hast (zu -2). Hier musst Du eine ONB auswählen, dann hast Du auch deine orthogonalen Vektoren. Normieren musst Du aber anschließend noch.

23.06.2010, 10:07

Kaninchen

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Hi,

okay, danke. Was genau muss denn normiert werden - müssen die ONB - Basenglieder nicht sowieso Länge 1 haben? Das verwirrt mich ein wenig.

23.06.2010, 10:08

Mazze

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Die ONB ist schon normiert, aber der eine Vektor zum Eigenwert 4 muss auch normiert werden.

23.06.2010, 10:25

Kaninchen

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Okay danke - aber nochmal zur ONB. Die muss doch zweidimensional sein, oder? Aber das geht doch gar nicht, dass die dann normiert 1 ist? verwirrt

23.06.2010, 10:31

Mazze

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Die Vektoren der ONB haben Norm 1.

23.06.2010, 10:33

Kaninchen

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Ja das weiß ich - aber z.B. ist ja die Standart-ONB mit dimension 3. Hier dürfte es ja nur 2 sein...hast du einen Tipp wie ich die aus dem Eigenraum geschickt wählen kann? Das verwirrt mich im Moment.

23.06.2010, 10:36

Mazze

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Gramschmidt. Die Basis hast Du ja schon, mit Gramschmidt kriegst Du daraus eine ONB.

23.06.2010, 11:09

Ehos

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Du hast die 3 EV die eine Basis des 3D-Raumes bilden

Zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda=-2 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \vec x_1=(-1|1|0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec x_2=(-1|0|1) \end{eqnarray*}$ .

Zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda=4 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \vec x_3=(1|1|1) \end{eqnarray*}$

Wie Mazze schrieb, sind nur diejenigen EV automatisch orthogonal, die zu verschiedenen EW gehören. Um auch die ersten beiden EV untereinander zu orthogonalisieren, ersetze z.B. den zweiten EV $\begin{eqnarray*} \vec x_2 \end{eqnarray*}$ durch den neuen EV $\begin{eqnarray*} (\vec x_2 \times \vec x_1) \times \vec x_1 \end{eqnarray*}$ , der wiederum im 2D-Eigenraum liegt, aber wie gewünscht senkrecht auf $\begin{eqnarray*} \vec x_1 \end{eqnarray*}$ steht.

Normiere nun diese drei Vektoren und du hast eine orthonormale Basis.

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