implizite funktion grundlagen

22.06.2010, 23:26

Bo_Wrexham

implizite funktion grundlagen

Meine Frage:
Hallo, die Aufgabe lautet:
3x²+y²-5x+y=2 diese ist "with respect to x" zu differenzieren...

Meine Ideen:
als Lösungsweg ist im 1 Schritt d/dx für jedes Element der Gleichung gemacht worden, woraus folgt:
6x + 2ydy/dx - 5 + 1dy/dx = 0

Die 6x und 5 sind mir klar, aber wieso wird aus y² dann 2ydy/dx wenn ich ursprünglich nach x ableiten sollte und da gar keins drinn iss? Die unterlagen sind in Englisch, waas die Sache nochn bissl verkompliziert.
Danke für jede Erklärung

22.06.2010, 23:32

system-agent

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Da soll nicht zufällig das $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ für eine Funktion $\begin{eqnarray*} y(x) \end{eqnarray*}$ stehen?

22.06.2010, 23:45

bo_wrexham

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ich denke nicht...

22.06.2010, 23:50

system-agent

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Dann wäre es alles falsch abgeleitet, denn dann wäre natürlich $\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd x}y=0 \end{eqnarray*}$ , wie du richtig sagst.
Um was geht es denn in dem Buch?

22.06.2010, 23:57

Bo_wrexham

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Es geht um eine handschriftliche Vorlesung und ich bin im kapitel "Differntiation of implicit functions" ich habe schon versucht im internet ein paar einfache aufgaben zu bekommen, an handf derer ich das mal nachvollziehen kann... aber leider nichts passendes gefunden, außer hochwissenschaftliche ausdrücke und immer wieder das beispiel mit der kreisfunktion...

nach der zusammenfassung von kommt als Lösung dann dy/dx = (5-6x)/(2y+1)...

23.06.2010, 08:30

system-agent

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Ok, hier soll also versucht werden die Gleichung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aufzulösen, dh $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ als eine Funktion von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ darzustellen.
Entweder man kann einfach alles nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auflösen und man kriegt dann ein Ausdruck
$\begin{eqnarray*} y(x)=\text{etwas ohne y} \end{eqnarray*}$
und den kann man wie gewohnt nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ableiten ableiten.

Falls man aber nicht die obige Form finden kann, dann nehme einfach an dass $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ schon eine Funktion von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist, leite alles ab und versuche, dann die abgeleitete Gleichung nach $\begin{eqnarray*} \frac{\dd y}{\dd x} \end{eqnarray*}$ aufzulösen, so wie hier.

Natürlich braucht man hier, dass $\begin{eqnarray*} y(x)\neq-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

23.06.2010, 09:32

wisili

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Zitat:

Original von system-agent
Dann wäre es alles falsch abgeleitet, denn dann wäre natürlich $\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd x}y=0 \end{eqnarray*}$ , wie du richtig sagst.
Um was geht es denn in dem Buch?

Es wäre gar nichts falsch.

23.06.2010, 17:07

bo_wrexham

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mmh. ich geh am besten mal noch einen Schritt zurück, habe noch ein einfacheres Bsp.:

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} (y^{3}) \end{eqnarray*}$
das heisst ja "übersetzt": leite y^{3} nach x einmal ab

Dann gibt es so eine schicke Formel:
latex]\frac{d}{dx} \left[f(y)\right] = \frac{d}{dy}\left[f(y)\right] * \frac{dy}{dx} [/latex]

was dann bedeuten würde:
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} (y^{3}) = (3y^{2}) * \frac{dy}{dx} \end{eqnarray*}$

ich leite als einfach das y ab und schreib dieses $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} \end{eqnarray*}$ hin...
aber was bedeutet das??? könntest du vielleicht etwas ausholen mit erklären und gaaaanz low level...
Danke

weitere aufgaben sind leider ohne lösung:
d/dx sin3t = 3cos3t dy/dx wäre das richtig?

23.06.2010, 17:28

system-agent

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Zitat:

Original von bo_wrexham
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} (y^{3}) \end{eqnarray*}$
das heisst ja "übersetzt": leite y^{3} nach x einmal ab

Ja, genau. Wenn man aber haben will, dass $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ selbst eine Funktion von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist, dann steht da
$\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd x}[y(x)^3], \end{eqnarray*}$
also eine verkettete Funktion. Die äussere Funktion ist $\begin{eqnarray*} g(x)=x^3 \end{eqnarray*}$ . Also musst du die Funktion $\begin{eqnarray*} g(y(x)) \end{eqnarray*}$ ableiten und das geht mit der Kettenregel.

Dieses $\begin{eqnarray*} \frac{\dd y}{\dd x} \end{eqnarray*}$ "hinschreiben" ist genau die innere Ableitung.

Nehmen wir mal ein Beispiel:
$\begin{eqnarray*} x^2+y^2=1\qquad(*) \end{eqnarray*}$
Angenommen wir wollen nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auflösen (für gewisse $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ), dann kann man das direkt machen und kriegt zb $\begin{eqnarray*} y(x)=\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$ und als Ableitung davon [ganz normal ausgerechnet] $\begin{eqnarray*} \frac{\dd y}{\dd x}(x)=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{-x}{y(x)} \end{eqnarray*}$

Nun die andere Variante. Nehmen wir einfach an wir haben eine Funktion $\begin{eqnarray*} y(x) \end{eqnarray*}$ . Dann liefert ableiten von (*) nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} 2x+2y\frac{\dd y}{\dd x}(x)=0 \end{eqnarray*}$
[wieder die Kettenregel].

Das kann man sogar auflösen und erhält das Gleiche wir vorhin, nämlich
$\begin{eqnarray*} \frac{\dd y}{\dd x}(x)=-\frac{x}{y(x)} \end{eqnarray*}$ .

23.06.2010, 22:26

Bo_wrexham

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danke dir erstmal, da werd ich wohl nochn bissle üben müssen.... war denn die letzte funktion mit dem sin3t richtig gemacht?

24.06.2010, 08:04

system-agent

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Zitat:

Original von bo_wrexham
d/dx sin3t = 3cos3t dy/dx wäre das richtig?

Die Frage ist was hier die ursprüngliche Aufgabe war. Wenn du möchstest, dass $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ eine Funktion von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist, dann ist aber $\begin{eqnarray*} \sin(3t) \end{eqnarray*}$ abgeleitet:
$\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd x}[\sin(3t)]=3\cos(3t)\cdot\frac{\dd t}{\dd x} \end{eqnarray*}$ .

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