Cauchyfolge, Supremumsnorm

23.06.2010, 01:48

ebichu

Cauchyfolge, Supremumsnorm

Hallo zusammen.
Ich hätte eine frage zu folgender Passage in meinem Skript:

[attach]15288[/attach]

Die Konvergenz zur heavysidefunktion mit der L^2 norm ist ja noch einleuchtend.
Nur dann versteh ich nix mehr bei der Supremumsnorm.

Das steht ja:

$\begin{eqnarray*} | | f_n-f_{2n} | | _\infty =... \end{eqnarray*}$

die Ausdrücke danach kann ich überhaupt nicht nachvollziehen. Was wird hier genau gemacht?

Hoffe, jemand hat hier den durchblick. Wäre toll Freude

viele grüsse
ebi

23.06.2010, 07:03

Mazze

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Naja,

$\begin{eqnarray*} | | f_n-f_{2n} | | _\infty = \sup_{t \in \mathbb{R}}|f_n(t) - f_{2n}(t)| \end{eqnarray*}$

Und jetzt rechne das Supremum mal aus.

23.06.2010, 11:50

ebichu

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hi mazze
Ja genau hier liegt eben mein problem. Ich versteh die rechnung nicht...

Ich hab mir mal die graphen von f_1 und f_2 aufgezeichnet, hier sehe ich dann, dass dass supremum, also der grösste abstand zwischen den beiden graphen in y-Richtung 1/2 beträgt. Nur eben, wie rechne ich das?

Diese "aufgesplittete" funktion verwirrt mich eben etwas.

viele grüsse
ebi

23.06.2010, 12:02

Mazze

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Also zunächst mal ist

$\begin{eqnarray*} f_n(t) - f_{2n}(t) = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t \in (-\infty,0] \cup \left(\frac{1}{n},\infty\right) \end{eqnarray*}$

mach dir das klar. Daher ist

$\begin{eqnarray*} \sup_{t \in \mathbb{R}}|f_n(t) - f_{2n}(t)| = \sup_{t \in \left(0,\frac{1}{n}\right]}|f_n(t) - f_{2n}(t)| \end{eqnarray*}$

Wie sieht

$\begin{eqnarray*} f_n(t) - f_{2n}(t) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t \in \left(\frac{1}{2n},\frac{1}{n}\right] \end{eqnarray*}$ aus?

und wie für $\begin{eqnarray*} t \in \left(0,\frac{1}{2n}\right] \end{eqnarray*}$ ?

Mach dir das erstmal klar.

23.06.2010, 13:04

ebichu

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hi mazze
Besten dank, ich habe das alles nachvollzogen und denke nun, dass ich verstanden habe. smile

Nun wollte ich das gelernte gleich anwenden bei folgender aufgabe: Habe das ganze mal für ein paar n's geplottet:

[attach]15290[/attach]

Ich möchte wieder schauen, ob f_n bzgl. der Supremumsnorm eine Cauchyfolge ist.
Kann ich hier genau so vorgehen wie beim beispiel oben?

also wieder
$\begin{eqnarray*} | | f_n-f_{2n} | | _\infty =... \end{eqnarray*}$

Kann man eigentlich an einem graph ablesen, ob es sich um eine cauchyfolge handelt?

viele grüsse
ebi

23.06.2010, 13:09

Mazze

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Zitat:

Kann ich hier genau so vorgehen wie beim beispiel oben?

Nur, wenn Du widerlegen willst das es sich um eine Cauchyfolge handelt.

Zitat:

Kann man eigentlich an einem graph ablesen, ob es sich um eine cauchyfolge handelt?

Das ist schwierig, man kann in der Regel die punktweise Konvergenz sehen, bezüglich der Supremumsnorm kann man manchmal sehen ob es keine Cauchyfolge ist.

23.06.2010, 13:14

ebichu

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naja, ich weiss nicht ob ich zu einfach denke, aber hier scheint es mir offensichtlich, dass
es sich bzgl der supremumsnorm um keine cauchyfolge handelt.

Denn wenn ich die beiden unteren graphen anschaue (f_1 und f_2) kann ich sicher ein epsilon finden das kleiner ist als das supremum der differenz von f_1 und f_2.

ich werde später mal versuchen, das ganze rechnerisch zu lösen.

lg
ebi

23.06.2010, 13:20

Mazze

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Ich denke es ist eine Cauchyfolge bezüglich der Supremumsnorm. Die Grenzfunktion ist $\begin{eqnarray*} f(x) = x \end{eqnarray*}$ , und für gegebenes Epsilon dürfte

$\begin{eqnarray*} \sup_{x \in [0,1]}|f_n(x) - x| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

für alle n > N zu beweisen sein.

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