A^2=Einheitsmatrix, finde Matrizen

23.06.2010, 11:25

excel-niete10

A^2=Einheitsmatrix, finde Matrizen

Hallo,
ich soll Matrizen B aus R2x2 finden, die bei B^2 die Einheitsmatrix ergeben.

$\begin{eqnarray*} B \in \mathbb R^{2x2} und B^{2} = E \end{eqnarray*}$

ich habe versucht Gleichungen aufzustellen, habe dann aber 4 unbekannte...

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so komm ich nicht weiter... wie komme ich sonst auf meine Matrizen? (4 St. brauche ich)

23.06.2010, 11:38

Mazze

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Zitat:

ch habe versucht Gleichungen aufzustellen, habe dann aber 4 unbekannte...

4 Unbekannte und 4 Gleichungen, wo ist das Problem ?

Man kann aber auch anders an die Sache herangehen. Wenn

$\begin{eqnarray*} B^2 = E \end{eqnarray*}$

sein soll, dann ist $\begin{eqnarray*} B = B^{-1} \end{eqnarray*}$ . Jetzt benutze die Formel für die Inverse einer 2x2-Matrix und löse die Gleichungen.

23.06.2010, 22:39

excel-niete10

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also ich hab jetzt einfach mal ein bisschen rumprobiert und folgende matrizen rausgefunden:

$\begin{eqnarray*} B_{1}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und das gleiche mit -1 statt 1 (B2)

und dann noch:

$\begin{eqnarray*} B_{3}\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0,5 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und das gleiche mit -2 und -0,5 (B4)

stimmt das?? also es kommt zumindest die Einheitsmatrix heraus.

24.06.2010, 07:30

Mazze

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Zitat:

stimmt das?? also es kommt zumindest die Einheitsmatrix heraus.

Wieso sollte es dann nicht stimmen? Das war doch genau die Aufgabe.

24.06.2010, 08:11

jester.

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Wenn dir der Ähnlichkeitsbegriff bekannt ist, könntest du auch Ähnlichkeit (Identität zeigen) nutzen, um die Aufgabe zu lösen.

Damit kommt man dann natürlich sehr leicht auf 4 2x2-Matrizen, die die gewünschte Eigenschaft haben.

24.06.2010, 09:00

excel-niete10

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ok super!

jetzt soll ich in der nächsten Teilaufgabe zeigen das für
$\begin{eqnarray*} B \in \mathbb R ^{nxn} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} B^{2}=E \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt:

1) B hat nur die Eigenwerte 1 und -1

2) Hat B nur den Eigenwert 1 so ist B=E

ist ja an sich logisch, nur wie soll ich das zeigen?!

24.06.2010, 09:04

Mazze

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Betrachte die Eigenwertgleichung

$\begin{eqnarray*} Bx = \lambda x \end{eqnarray*}$

und spiel damit ein wenig rum.

24.06.2010, 09:11

excel-niete10

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ich kenne die Gleichung noch nicht.

Ist mit Lambda der Eigenwert gemeint? und was bedeutet das x?

24.06.2010, 09:13

Mazze

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Zitat:

ich kenne die Gleichung noch nicht.

Das wage ich zu bezweifeln. Das ist die allgemeine Definition von Eigenwerten. Du kannst nicht von Eigenwerten sprechen ohne diese Gleichung zu kennen. Das wäre so als würde man Tanken wollen ohne ein Auto zu haben.

Zitat:

Ist mit Lambda der Eigenwert gemeint? und was bedeutet das x?

Ist x ungleich 0 ein Vektor und Lambda ein Element des Grundkörpers, und gilt die Gleichung

$\begin{eqnarray*} Bx = \lambda x \end{eqnarray*}$

so ist Lambda ein Eigenwert von B und x ein zu Lambda gehörender Eigenvektor.

24.06.2010, 09:17

excel-niete10

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aaachso

ok.. dann werd ich das mal probieren... falls ich probleme haben sollte, melde ich mich nochmal! smile

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