Uneigentliches Integral Bestimmen (Vorgehen?)

23.06.2010, 13:14	mathenovize	Auf diesen Beitrag antworten »
Uneigentliches Integral Bestimmen (Vorgehen?) Hallo, ich sitze jetzt seit heute Morgen 8 Uhr vorm Skript und verstehe einfach nicht, wie ich ein uneigentliches Integral bestimmen kann. Hier einmal als Beispiel: $\begin{eqnarray} <br /> \int_{-\infty}^{\infty} \!xexp(\frac{-x^2}{2}) \!<br /> \end{eqnarray}$ Ich habe jetzt einfach erstmal mit Substitutionsregel die Stammfunktion in den Grenzen -unendlich und +unendlich bestimmt. Die lautet: $\begin{eqnarray} <br /> -exp(\frac{-x^2}{2})+C<br /> \end{eqnarray*}$ Nur wie gehe ich jetzt weiter vor? Wenn ich die Verwirrung stiftenden Sätze meines Skripts mal kurz außer Acht lasse, würde ich intuitiv wie folgt vorgehen: 1. Obere und untere Grenze in die Funktion reinknallen 2. Limes t -> obere Grenzte und limes u -> untere Grenze vor die Funktionen schreiben 3. Asymptotisches Verhalten von beiden Funktionen an den Grenzen untersuchen 4. Entscheiden ob ein Grenzwert existiert, wenn Ja einsetzen und wenn Nein gibts das Integral nicht Soweit so gut. Wie geht es nun Richtig? Und wie ist das Asymptotische Verhalten der e-Funktion? Danke euch allen im Vorraus und Grüße
23.06.2010, 13:44	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, bisher ist das ja schon richtig. Dann schreib das doch einfach mit den Grenzwerten auf: $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty} ~ x \cdot \exp\left(\frac{-x^2}{2}\right) ~\dd x = \lim_{u \to \infty}\left[-\exp\left(\frac{x^2}{2}\right)\right]_{-u}^u \end{eqnarray}$ Dann die Grenzen einsetzen. Du wirst dann sehen was passiert.
23.06.2010, 13:55	mathenovize	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, da sag ich doch mal dreist, dass der Grenzwert in beide Richtungen 0 ist: [attach]15291[/attach] Aber wie komme ich ohne eine Graphen-Abbildung darauf? Also setze ich die 0 zweimal ein und schließe darauf, dass die Fläche unter dem Graphen 0 ist? Genau hier ist jetzt der Knackpunkt, den ich noch nicht verstehe. Ich weiß jetzt den Grenzwert. Was jetzt? Wie beweisen, vorgehen o.ä? Grüße
23.06.2010, 14:00	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Du gehst einfach genau so vor, wie du es bei jeder anderen Funktion auch machen würdest. Du wendest den Hauptsatz der Diff.- und Integralrechnung an: $\begin{eqnarray} \int_a^b~f(x)~\dd x = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) \end{eqnarray}$ Der einizge unterschied ist hier eben nur, dass du noch ein limes mit da stehen hast.
23.06.2010, 14:18	mathenovize	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ist das Ergebnis 0+0=0 ? verwirrt schau Grüße
23.06.2010, 14:45	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das Ergebnis ist in der Tat Null. Aber den Grenzwert müsstest du hier nicht einmal betrachten, denn es ist ja $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty} ~ x \cdot \exp\left(\frac{-x^2}{2}\right) ~\dd x = \lim_{u \to \infty}\left[-\exp\left(\frac{x^2}{2}\right)\right]_{-u}^u = \lim_{u \to \infty} \left(-\exp\left(\frac{u^2}{2}\right)-(-\exp\left(\frac{(-u)^2}{2}\right))\right) = \lim_{u \to \infty}0 = 0 \end{eqnarray}$
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23.06.2010, 15:28	Kühlkiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Dieses Ergebnis kannst Du auch ohne Kenntnis einer expliziten Stammfunktion, einfach durch Ausnutzung der Tatsache, dass der Integrand ungerade ist, erhalten.

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