Eigenwerte- und Vektoren bestimmen

23.06.2010, 13:56

dota

Eigenwerte- und Vektoren bestimmen

Hallo zusammen!

Ich hänge jetzt schon seit mehreren Tagen an einer Übungsaufgabe, zu der mir vermutlich schon der Ansatz fehlt. Vielleicht kann mir ja hier jemand den fehlenden Denkanstoß geben.

Gegeben ist ein komplexer Vektorraum
$\begin{eqnarray*} V := \left\{ f \in C^{\infty} ([0,1]) | f(0)=f(1)=0 \right\} \end{eqnarray*}$
Bestimmt werden sollen Eigenwerte und Eigenvektoren der Operation
$\begin{eqnarray*} T : f \mapsto -f'' \end{eqnarray*}$

Eigenwerte und Eigenvektoren sollten (hoffe ich) kein Problem sein, wenn ich T erst einmal gefunden habe. Genau da hängt es aber.

Meine Lösungsidee war:
- Basis des Vektorraums finden
- T auf Basisvektoren anwenden
- die "Bilder" der Basisvektoren entsprächen dann den Spalten der Matrix
- Eigenwerte/Eigenvektoren bestimmen

Meine Probleme:
- Aufstellen der Basis bzw. stimmt der Ansatz?
- müsste es sich nicht um eine unendliche Basis handeln und folglich um eine unendliche Matrix? Kann ich davon überhaupt EW und EV bestimmen?

Für Anregungen/Tipps wäre ich sehr dankbar! smile

Grüße
doro

23.06.2010, 14:08

tigerbine

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RE: Eigenwerte- und Vektoren bestimmen

Zitat:

Original von dota
Für Anregungen/Tipps wäre ich sehr dankbar! smile

Ich würde von der Matrixsuche ein mal Abstand nehmen und in die Definition schauen, was ein EW und was ein EV ist. Was sind die Vektoren in deinem VR? Du betrachtest unendlich oft differenzierbare Funktionen auf dem Intervall [0,1], die an den Intervallrändern Nullstellen haben.

Wie sieht deine Lineare Abbildung aus? Du differenzierst 2mal und änderst das Vorzeichen. Das was dann raus kommt, muss ein Vielfaches der Funktion sein, die du abgeleitet hast.

Für mich sieht das nach "Lösen eines Randwertproblems" aus... Da bin ich aber nicht gut drin. Hier nur mal, was mir so in den Sinn kam in einer Bildfolge.

Vielleicht hilft es was. Wink

23.06.2010, 14:22

Ehos

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Du sollst folgende Differnzialgleichung lösen

$\begin{eqnarray*} f''+\lambda f=0 \end{eqnarray*}$ ____________(1)

Die beiden Randbedingungen lauten

$\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ _______________(2)
$\begin{eqnarray*} f(1)=0 \end{eqnarray*}$

Aus physikalischer Sicht sind dies die Eigenschwingungen einer eingespannten Saite der Länge 1. Die Saite hat also am Anfangs- und Endpunkt keine Auslenkung.

Die allgemeine Lösung von (1) (ohne Randbedingungen) lautet bekanntlich

$\begin{eqnarray*} f(x)=A\cdot \sin(\sqrt{\lambda}\cdot t)+B\cdot \cos(\sqrt{\lambda}\cdot t) \end{eqnarray*}$

Durch Befriedigung der Randbedingungen ergibt sich eine der bisher noch unbekannten Konstanten A, B. Weiterhin erhält man durch die Randbedingungen unendlich viele Möglichkeiten für die Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3... \end{eqnarray*}$ . Einsetzen der Eigenwerte in die obige Lösung ergibt die Eigenvektoren, die in diesem Falle Funktionen von x sind. Durch Normierung auf 1 kann man die zweite der Konstanten A, B bestimmen.

23.06.2010, 14:22

dota

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@ tigerbine

Ich bin mir zwar noch nicht sicher, was ich damit alles machen kann, aber es hilft auf jeden Fall, vielen Dank!
Nur ein Beispiel ist mir nicht klar:
Wenn $\begin{eqnarray*} f = cos \left( \pi * x \right) \end{eqnarray*}$ ist, erfüllt es doch die Randbedingungen nicht, oder war das nur ein Beispiel für eine unendlich oft differenzierbare Funktion?

23.06.2010, 14:23

tigerbine

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Ich habe nicht den Cosinus als Funktion gewählt. Augenzwinkern

23.06.2010, 15:12

dota

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@ tigerbine: achso, sorry Augenzwinkern

@ Ehos:

Vielen Dank!
Auf die Idee das ganze eher physikalisch anzugehen bin ich peinlicherweise gar nicht gekommen.

Ich mach jetzt gleich mal mit der allg. Lösung weiter.
Daraus folgt ja, für
$\begin{eqnarray*} f\left( 0 \right) = A * 0 + B * 1 = 0 \end{eqnarray*}$ , dass B = 0 ist.
Somit ist dann:
$\begin{eqnarray*} f\left(x\right) = A * sin\left( \sqrt{ \lambda } * x\right) \end{eqnarray*}$
Dann benutzte ich, dass $\begin{eqnarray*} f\left( 1 \right) = 0 \end{eqnarray*}$ ist. Wenn ich annehme, dass A ungleich 0 ist, folgt daraus:
$\begin{eqnarray*} sin\left( \sqrt{\lambda}\right) = 0 \end{eqnarray*}$ .
Das würde gelten, wenn
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\lambda} = k * \pi \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb {N} \end{eqnarray*}$ .
Also habe ich Eigenwerte der Form:
$\begin{eqnarray*} \lambda = k^{2} * \pi^{2} \end{eqnarray*}$
Das eingesetzt in die allg. Lösung ergibt dann
$\begin{eqnarray*} f\left( x \right) = A * sin\left( k * \pi * x \right) \end{eqnarray*}$

Ich hoffe mal das stimmt so weit. Nur wie ich jetzt mein A erhalte ist mir nicht klar.

23.06.2010, 15:52

Ehos

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Die Lösungen hast du richtig ermittelt:

$\begin{eqnarray*} f_n(x)=A_n\cdot \sin(n \pi\cdot x) \end{eqnarray*}$

Dabei durchläuft n alle natürlichen Zahlen außer Null.

Man betrachten diese Funktionen $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ als "Basisvektoren" eines unendlichdimensionalen Vektorraumes. Um die $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, fordert man, dass diese Basisvektoren $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ "auf 1 normier" sind, ganz ähnlich wie man im eulidischen Velktorraum gern Vektoren normiert. Anstelle des üblichen Skalarproduktes tritt in diesem "Funktionenraum" ein Integral. Das Skalarprodukt zweier Funktionen f und g ist also das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! f \cdot g \, dx \end{eqnarray*}$

Bezüglich dieses Skalarproduktes fordert man, dass das "Betragsquadrat" des "Vektors" $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ den Wert 1 hat, also

$\begin{eqnarray*} 1=\int_0^1 \! f_n(x)f_n(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Daraus kannst du die Konstante $\begin{eqnarray*} A_1, A_2, A_3,... \end{eqnarray*}$ mittels partieller Integration bestimmen.

23.06.2010, 17:24

dota

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Nochmals Danke für die ausführliche Erklärung!

Mit partieller Integration erhalte ich im ersten Schritt:
$\begin{eqnarray*} 1 = \int_{0}^1 f_n\left(x\right) \cdot f_n\left(x\right) dx = A_n^2 \int_{0}^1 sin^{2}\left(n \pi x\right) dx = A_n^2 \left[ - \dfrac{1}{n\pi} sin\left(n\pi\right)cos\left(n\pi\right) + \int_{0}^{1}cos^{2}\left(n\pi x\right) dx \right] \end{eqnarray*}$
Dann benutzte ich $\begin{eqnarray*} cos^2\left(x\right) + sin^2\left(x\right) = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} sin\left(n\pi \right) = 0 \end{eqnarray*}$ .
Damit erhalte ich
$\begin{eqnarray*} A_n^2 \int_{0}^1 sin^{2}\left(n \pi x\right) dx = A_n^2 \int_{0}^1 1 - sin^2\left(n\pi x\right) dx \end{eqnarray*}$
Daraus ergibt sich: $\begin{eqnarray*} A_n^2 \int_{0}^1 sin^{2}\left(n \pi x\right) dx = \dfrac{A_n^2}{2} \stackrel{!}{=} 1 \end{eqnarray*}$
Und darauf folgt:
$\begin{eqnarray*} A_n = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Wenn das stimmt, würde es für meine Gesamtlösung bedeuten:
$\begin{eqnarray*} f_n \left( x \right) = \sqrt{2} \cdot sin\left(n\pi x \right) \end{eqnarray*}$

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