Exponential verteilte Zufallsvariablen

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Kerstin* Auf diesen Beitrag antworten »
Exponential verteilte Zufallsvariablen
Hallo!

Ich habe hier eine Aufgabe zur Exponentialverteilung:

Die Lebenserwartung eines Computerchips (in Std.) sei exponentialverteilt, mit der Ausfallrate .

Berechnen Sie:
  • die Wahrscheinlichkeit, dass der Computerchip mindestens 1000 Stunden hält.

  • die Wahrscheinlichkeit, dass von 50 Chips keiner in den ersten 1000 Stunden ausfällt

  • die Wahrscheinlichkeit, dass mind. ein Chip in den ersten 5000 Std. ausfällt, wenn man annimmt, dass keiner der Chips in den ersten 2500 Std. ausfällt


Zur ersten Teilaufgabe:





Bei der zweiten Teilaufaufgabe würde ich es einfach so machen, dass ich das Ergebnis der ersten Teilaufgabe mit 50 potenziere, d.h.
die gesuchte Wahrscheinlichkeit wäre dann einfach


Bei der dritten Teilaufgabe hab ich mir gedacht, dass man die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten anwenden muss. Ich meine folgende Formel
, wobei hier
die Wahrscheinlichkeit ist, dass kein Chip in den ersten 2500 Std. ausfällt und die Wahrscheinlichkeit ist, dass mind. ein Chip in den ersten 5000 Std. ausfällt.

Was meint ihr dazu?
Hab ich die ersten beiden Teilaufgaben richtig gelös? Ist die Vorgehensweise bei der dritten Teilaufgabe o.k. ?

Viele Grüße
Kerstin
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zur ersten: sieht gut aus.

Zur zweiten: Wenn Du annimmst das die 50 Chips stochastisch unabhängig sind, so ist dies auch richtig.

Zur dritten : Dein Weg dürfte funktionieren. Allerdings dürfte die Verbundwahrscheinlichkeit von A und B nicht ganz so leicht zu bestimmen sein.
Kerstin* Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo und danke für die Antwort.

Jetzt komme ich - wie geahnt - bei der Bestimmung von nicht weiter.

Könnt ihr mir dazu einen Tipp geben?

Danke,

Gruß,
Kerstin
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde nicht über die Verbundwahrscheinlichkeit gehen. Die Exponentialverteilung ist gedächtnislos, es gilt :



Jetzt überlege Dir wie Du das für dein Problem verwenden kannst.
Kerstin* Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

wenn ich in die "Formel"
(die ich übrigens noch beweisen muss) die entsprechenden Werte einsetze, dann erhalte ich:



D.h.: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Chip in den ersten 5000 Std. nicht ausfällt, ist genau so hoch wie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Chip in den ersten 2500 Std. nicht ausfällt.

Jetzt berechne ich die Wahrscheinlichkeit, dass 50 Chips in den ersten 5000 Std. nicht ausfallen:





Da ich aber wissen will, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass mind. ein Chip (von den 50 Chips) in den ersten 5000 Std. ausfällt (unter der Annahme, dass keiner der Chips in den ersten 2500 Std. ausfällt), berechne ich die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis, d.h. ich ziehe den obigen Wert von 1 ab, d.h. die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist

Jetzt wär's natürlich schön, wenn das alles richtig wäre...
Ich bin mir aber sehr unsicher; deshalb bitte ich um eine Rückmeldung, ob das, was ich ausgerechnet habe, nicht totaler Unsinn ist :-D

Danke vielmals für eure Bemühungen!

MfG
Kerstin
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht gut aus.
 
 
Kerstin* Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo nochmal.

verwirrt Jetzt ist mir gerade aufgefallen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass 50 Chips in den ersten 5000 Std. nicht ausfallen, auch berechnet werden kann durch:





und das wäre ein völlig anderer Wert als , was ich vorhin ausgerechnet habe.

Es ist natürlich klar, dass ein Chip, der in den ersten 5000 Std. nicht ausfällt, auch nicht in den ersten 2500 Std. ausfällt...

Die Exponentialverteilung ist in der Tat gedächtnislos, das glaub ich dir schon und das hab ich auch selbst nachgelesen. Also irgendwas stimmt nicht, weil zwei verschiedene Werte herauskommen.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Jetzt ist mir gerade aufgefallen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass 50 Chips in den ersten 5000 Std. nicht ausfallen, auch berechnet werden kann durch:


Es ist ein Unterschied ob Du das Ereignis "fällt in den ersten 5000" Stunden aus oder "fällt in den ersten 5000 Stunden aus gegeben sie lebt mindestens 2500 Stunden" betrachtest. Beide Ereignisse haben natürlich unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten.

edit

Übrigens, die Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung zeigt man in einer Zeile.
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