Basiswechsel - Vektorraum der Polynome

23.06.2010, 18:32

Phantom-Lord

Basiswechsel - Vektorraum der Polynome

Hallo, hoffe, dass ihr mir helfen könnt.

Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ der Vektorraum der Polynome $\begin{eqnarray*} f(x):=a_0 + a_1x +a_2x^2 + \ldots +a_nx^n \in \mathbb{R}[x] \end{eqnarray*}$ vom Grad $\begin{eqnarray*} \leq n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ fest gewählt
$\begin{eqnarray*} \textbf{B}= \{1,x,x^2, \ldots, x^n \} \end{eqnarray*}$ die "natürliche" Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ .

Zeige: $\begin{eqnarray*} \textbf{C}= \{1,x-a,(x-a)^2, \ldots, (x-a)^n \} \end{eqnarray*}$ ist ebenfalls eine Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$

Bestimme die Transformationsmatrizen $\begin{eqnarray*} T_C^B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T_B^C \end{eqnarray*}$ .

Dass $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist habe ich wie folgt gezeigt: Da sich der Nullvektor nur trivial kombinieren lässt und die Dimension gleich n+1 ist, so ist $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kommt das Problem. Wie kann ich die Transformationsmatrizen bestimmen?
Ich habe mir gedacht, dass ich $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ als Matrizen darstelle und wie hier beschrieben das LGS löse.

Im Voraus schon einmal Danke für die Hilfe.

23.06.2010, 18:37

tigerbine

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RE: Basiswechsel - Vektorraum der Polynome
Hallo Wink

,

hier mal ein paar Tipps:

[Artikel] Basiswechsel

http://de.wikipedia.org/wiki/Binomischer_Lehrsatz

Damit solltest du die neue Basis in Koordinaten der alten darstellen können und somit auch die Matrix bekommen.

23.06.2010, 22:25

Phantom-Lord

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Danke für den Artikel Basiswechsel.

Ich habe mir die Basis B als Einheitsmatrix aufgeschrieben. $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ steht für 1, $\begin{eqnarray*} e_2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ usw ...
$\begin{eqnarray*} \mathbf{B}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes die Matrix $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ "erzeugt".
$\begin{eqnarray*} \mathbf{C}=\begin{pmatrix} 1 & -a & \ldots & (-a)^k \\ 0 & 1 & \ldots & \binom{k}{k-1}\cdot (-a)^{k-1} \\ 0 & 0 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \binom{k}{1}\cdot (-a)^{1} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kann das sein, dass die Matrixdarstellung von C zugleich die Transformationsmatrix von B nach C ist?

Dann ist die inverse Matrix von C die Transformationsmatrix von C nach B.

23.06.2010, 22:36

tigerbine

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Schade, dass du nicht erst das geschrieben hast

Zitat:

Also man hat die Vektoren $\begin{eqnarray*} w_i \end{eqnarray*}$ der Basis B als Linearkombination der Vektoren $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ der Basis A gegeben:

$\begin{eqnarray*} w_1 = 2\cdot v_1 - 1 \cdot v_2 - 1 \cdot v_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_2 = 0 \cdot v_1 - 1\cdot v_2 + 0 \cdot v_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_3 = 0 \cdot v_1 +2 \cdot v_2 + 1 \cdot v_3 \end{eqnarray*}$

Dann könnte ich besser nachvollziehen, ob der Rest

Zitat:

Tragen wir das jetzt mal spaltenweise in eine Matrix S ein. Hat S vollen Rang, so bilden auch die Vektoren w eine Basis.

$\begin{eqnarray*} S = \begin{pmatrix} 2&-1&-1 \\ 0&-1&0 \\ 0&+2&1 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 2&0&0 \\ -1&-1&2 \\ -1&0&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

stimmt.

$\begin{eqnarray*} c_1=b_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_2=-ab_1 + b_2 \end{eqnarray*}$

Wenn du so angesetzt hast und dann transponiert, dann passt es. Freude

23.06.2010, 22:49

Phantom-Lord

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Ich habe mir, um das Beispiel zu veranschaulichen, den Raum der Polynome mit Grad <= 3 angeschaut.

Ich habe dann, wie im Workshop beschrieben, die Elemente der Basis C als Linearkombinationen von B angeschrieben.

z.B.: $\begin{eqnarray*} x-a = -a*b_1 + 1*b_2 \end{eqnarray*}$ usw..

Dann habe ich das in eine Matrix übertragen und diese transponiert. Da das gepasst hat, habe ich das ganze dann für den Raum der Polynome mit Grad <=n durchgeführt.

23.06.2010, 23:10

tigerbine

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Richtig. Eine Matrix hast du nun schon, die andere ist die Inverse davon.

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