Differenzierbarkeit einer Matrix-Abbildung

23.06.2010, 22:38

Sa+ra+h

Differenzierbarkeit einer Matrix-Abbildung

Hallo,

ich stecke bei folgendem Problem fest:

Gegeben:
M: Menge aller reellen n kreuz n Matrizen
I: Menge aller invertierbaren Matrizen (d.h. aller Matrizen A mit det A ungleich null)

Zu zeigen:
Die Abbildung Inv von M nach I: Der Matrix A wird ihr Inverses zugeordent, ist differenzierbar.

Ich hatte vorher schon gezeigt, dass I offen ist. Mir fällt jedoch kein Satz ein, der zeigt, dass die Abbildung Inv invertierbar ist. Kann jemand freundlicherweise helfen? Vielen Dank!

Liebe Grüße
Sarah

23.06.2010, 23:08

Felix

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Eine elegate Möglichkeit sehe ich im Moment auch nicht, aber es sollte funktionieren zu zeigen, dass alle partiellen Ableitungen existieren (diese sollten auch steig sein wenn ich mich nicht irre).

24.06.2010, 06:41

Sa+ra+h

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Hallo,

wie soll ich denn von dieser Abbildung die partiellen Ableitungen ermitteln? Ich hatte dies bisher nur für Funktionen der Form f(x,y,z) = ... gemacht.

Liebe Grüße
Sarah

24.06.2010, 08:09

system-agent

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Du könntest die nxn-Matrix als ein Vektor im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n^2} \end{eqnarray*}$ auffassen.

Alternativ zu diesem ganzen Rechenaufwand möchte ich mal noch die Cramersche Regel in den Raum werfen. Die sagt auch etwas über die Inverse Matrix aus und wenn man weiss, dass $\begin{eqnarray*} \det \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist, wäre man fertig.

24.06.2010, 08:17

jester.

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RE: Differenzierbarkeit einer Matrix-Abbildung

Zitat:

Original von Sa+ra+h
Gegeben:
M: Menge aller reellen n kreuz n Matrizen
I: Menge aller invertierbaren Matrizen (d.h. aller Matrizen A mit det A ungleich null)
Die Abbildung Inv von M nach I: Der Matrix A wird ihr Inverses zugeordent, ist differenzierbar.

Also $\begin{eqnarray*} \operatorname{Inv}~:~\mathbb{R}^{n\times n}\to \operatorname{GL}(n,\mathbb{R}),~ A\mapsto A^{-1} \end{eqnarray*}$ ?

Auf was werden denn dann nicht-invertierbare Matrizen abgebildet? Sollte die Abbildung vielleicht von $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ gehen? Augenzwinkern

24.06.2010, 08:41

Felix

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Zitat:

Also $\begin{eqnarray*} \operatorname{Inv}~:~\mathbb{R}^{n\times n}\to \operatorname{GL}(n,\mathbb{R}),~ A\mapsto A^{-1} \end{eqnarray*}$ ? Auf was werden denn dann nicht-invertierbare Matrizen abgebildet? Sollte die Abbildung vielleicht von $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ gehen? Augenzwinkern

Ja ist mir auch aufgefallen, hab dann aber vergessen das noch zu schreiben ...

Nochmal zu den partielllen Ableitungen falls du diesen Weg wählst. Betrachte doch mal o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} a_{11} \end{eqnarray*}$ . Wie sieht die Inverse von einer Matrix $\begin{eqnarray*} A = (a_{ij}) \end{eqnarray*}$ aus wenn du an die Stelle $\begin{eqnarray*} a_{11} \end{eqnarray*}$ h dazu addierst.

Falls du aber weißt, das det stetig, dann würde ich dir natürlich den Weg von system-agent empfehlen.

lg

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