Differenzierbarkeit

24.06.2010, 08:53	poly314	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzierbarkeit Guten Morgen, ich möchte entscheiden, ob f: R ----> R, f(x) = (e^(x^2) -1 - x^2)^1/3 diffbar ist und komme nicht weiter...
24.06.2010, 09:05	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Schon mal was von der Kettenregel gehört ?
24.06.2010, 10:37	poly314	Auf diesen Beitrag antworten »
doch g`(x) = 1/3(innere Funktion)^(-2/3) (2x*e^(x^2) - 2x) Und ?
24.06.2010, 10:50	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast die Funktion doch gerade Differenziert Um das formal zu begründen musst du die ein weitere Aussage der Kettenregel beachten: Sind g und f differenzierbar so ist auch ihre Hintereinanderausführung differenzierbar.
24.06.2010, 11:36	poly314	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön !
24.06.2010, 11:43	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die dritte Wurzel ist hier die äußere Funktion. Sie ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar. Sollte die innere Funktion niemals 0 werden, ist alles problemlos. Ansonsten wäre die Differenzierbarkeit an Stellen, wo die innere Funktion 0 wird, gesondert zu untersuchen. Die üblichen Differentiationsregeln jedenfalls liefern die Differenzierbarkeit nicht automatisch. EDIT Ich habe das einmal überprüft. Für $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ wird die innere Funktion $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ . Man kann mit Hilfe der Exponentialreihe die folgende Darstellung in einer Umgebung von $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ finden: $\begin{eqnarray} f(x) = \left( \operatorname{e}^{x^2} - 1 - x^2 \right)^{\frac{1}{3}} = \left( \frac{x^4}{2!} + \frac{x^6}{3!} + \ldots \right)^{\frac{1}{3}} = 2^{- \frac{1}{3}} x^{\frac{4}{3}} \underbrace{\left( 1 + \frac{2x^2}{3!} + \frac{2x^4}{4!} + \ldots \right)^{\frac{1}{3}}}_{g(x)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ ist in $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ holomorph mit $\begin{eqnarray} g(0)=1 \end{eqnarray}$ . Das sieht man durch Einsetzen in die Binomialreihe $\begin{eqnarray} \left( 1 + t \right)^{\frac{1}{3}} = \sum_{n=0}^{\infty} {{\frac{1}{3}} \choose k} t^k \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ eine gerade Funktion ist, muß es eine Darstellung $\begin{eqnarray} f(x) = 2^{-\frac{1}{3}} x^{\frac{4}{3}} \left( 1 + a_2 x^2 + a_4 x^4 + \ldots \right) \end{eqnarray}$ geben. Es folgt: $\begin{eqnarray} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \frac{2^{-\frac{1}{3}} x^{\frac{4}{3}} \cdot \left( 1 + a_2 x^2 + a_4 x^4 + \ldots \right)}{x} = 2^{-\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} \cdot \left( 1 + a_2 x^2 + a_4 x^4 + \ldots \right) \to 0 \ \ \mbox{für} \ \ x \to 0 \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ bei $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ differenzierbar mit $\begin{eqnarray} f'(0) = 0 \end{eqnarray}$
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