Polynom in normierte irreduzible Polynome zerlegen

24.06.2010, 09:08

Claudia105

Polynom in normierte irreduzible Polynome zerlegen

Hallo!

Ich komme bei folgender Teilaufgabe nicht weiter:

Man zerlege das Polynom $\begin{eqnarray*} t^{4} \end{eqnarray*}$ + t² + $\begin{eqnarray*} 1_{K} \end{eqnarray*}$ in K[t] in normierte irreduzible Polynome in den Fällen K= $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und K = C (die komplexen Zahlen).

Normiert heißt doch, dass die Polynome höchstens Grad 1 haben können.
Irreduzibel habe ich noch nicht wirklich verstanden, da aber jedes Polynom vom Grad 1 eh irreduzibel ist, ist es evtl. auch nicht so wichtig?

In einer anderen Teilaufgabe habe ich bereits gezeigt, dass gilt:
$\begin{eqnarray*} t^{4} \end{eqnarray*}$ + t² + $\begin{eqnarray*} 1_{K} \end{eqnarray*}$ = (t² + t - $\begin{eqnarray*} 1_{K} \end{eqnarray*}$ ) * (t² - t +3) + (-4t + 4)

Das hilft mir aber nicht weiter oder?

Muss ich für die Aufgabe das Polynom in Linearfakoren zerteilen oder darf ich am Ende auch einfach den Term -4t + 4 dazu addieren?

Ich aheb nämlich für $\begin{eqnarray*} t^{4} \end{eqnarray*}$ + t² + $\begin{eqnarray*} 1_{K} \end{eqnarray*}$ keine Nullstellen finden können.

Kann mir jemand weiter helfen?

24.06.2010, 10:19

Reksilat

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RE: Polynom in normierte irreduzible Polynome zerlegen
Hi Claudia,

Normiert heißt mitnichten, dass das Polynom Grad 1 hat, sondern, dass der Leitkoeffizient (der Faktor der vor dem höchsten Glied der Form $\begin{eqnarray*} x^k \end{eqnarray*}$ steht) 1 sein muss.
Also: $\begin{eqnarray*} x^5+4x+3 \end{eqnarray*}$ ist normiert, $\begin{eqnarray*} 2x^2+x+1 \end{eqnarray*}$ ist es nicht. klar?

Zur Zerlegung: Hier ist eine Zerlegung in Faktoren gesucht, Deine Lösung aus der anderen Teilaufgabe hilft dabei leider nicht weiter.
Zuerst solltest Du versuchen, Dein Polynom in zwei Faktoren in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[t] \end{eqnarray*}$ zu zerlegen. Da es ja keine Nullstellen hat, kann keiner der Faktoren den Grad 1 haben und es bleiben nach dem Gradsatz noch zwei Faktoren der Form $\begin{eqnarray*} t^2+at+b \end{eqnarray*}$ als Möglichkeit. (Die Faktoren kann man normieren.)
Mit diesem Ansatz kannst Du dann die möglichen Faktoren berechnen (Koeffizientenvergleich!).

Anschließend untersuchst Du die erhaltenen Faktoren auf Irreduziblität über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und über $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ .

Gruß,
Reksilat.

PS: Das Einselement kannst Du hier auch als 1 schreiben - es ist schließlich in allen beteiligten Körpern das gleiche. Augenzwinkern

24.06.2010, 10:22

system-agent

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Normiert bedeutet nur, dass der Leitkoeffizient genau 1 ist.

Ein Polynom ist irreduzibel wenn man es nicht weiter in dem gegebenen Ring echt zerlegen kann.
Zb. ist $\begin{eqnarray*} X^2+1 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ irreduzibel, denn man kann keine Polynome $\begin{eqnarray*} X+a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X+b \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb R[X] \end{eqnarray*}$ finden derart, dass $\begin{eqnarray*} (X+a)(X+b)=X^2+1 \end{eqnarray*}$ .
Dagegen geht das über $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ sehr wohl.

Nun versuch das zuerst einmal über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
1. Frage: Gibt es reelle Nullstellen? Falls ja, kann man diese abspalten mit einem Linearfaktor.
2. Frage: Falls es keine Nullstellen gibt und es doch reduzibel ist, dann muss es notwendig zwei [irreduzible] quadratische Polynome $\begin{eqnarray*} t^2+at+b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t^2+ct+d \end{eqnarray*}$ geben mit $\begin{eqnarray*} (t^2+at+b)(t^2+ct+d)=t^4+t^2+1 \end{eqnarray*}$ .

Edit: leicht zu spät Augenzwinkern

24.06.2010, 12:47

Claudia105

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Vielen Dank für eure Antworten!

Da lag ich ja bei normiert ziemlich falsch, aber ich habe es mir jetzt richtig eingeprägt Augenzwinkern

Vielen Dank für den Hinweis mit dem Koordinatenvergleich, das war wirklich hilfreich, sonst hätte ich nicht gewusst, was ich hätte machen sollen.

für $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ habe ich jetzt auch normierte Polynome gefunden:
(t² + t +1)*(t² -t +1). Das müsste eigentlich passen. Allerdings weiß ich nicht, wie ich jetzt prüfen kann, dass sie irreduzibel sind. Das habe ich leider nicht verstanden.

Wir haben irreduzibel wie folgt definiert:
Sei K ein Körper, f aus K[t] heißt dann irreduzibel, wenn gilt:
1.) f nicht aus K
2.) Für alle g,h aus K[t]: g*h = f => g aus K oder h aus K

Ich scheitere etwas an dem Verständnis dessen.
Was heißt, dass f nicht aus K ist??
Wäre klasse, wenn mir das jemand erklären könnte.

Ich bin dann auch noch auf der Suche nach den Polynomen in C. Ich hatte schon 2 mal etwas raus, aber entweder war das falsch oder ich habe hinter bei ausmultiplizieren einen Fehler gemacht. (mit i komm ich nicht immer klar).
Ich hatte einmal raus, dass (t² + it + 1)*(t² -it + 1) das gesucht ist und einmal dass (t² - it + 1)*(t² + (1/i)t + 1) das Gesuchte ist.
Falls jemand von euch das nachrechnen würde, wäre es klasse. Ich dreh mich da immer wieder im Kreis und habe schon 4 Zettel voll geschrieben und trotzdem keine Lösung.
Ich habe mit diesen Gleichungen gearbeitet:
0 = t^3 (c+a)
t² = t² (d+b+ac)
0= t(ad + bc)
1 = db
die habe ich aus dem Koeffizientenvergleich gewonnen

24.06.2010, 13:01

Reksilat

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Also Deine Zerlegung ist richtig. Diese Zerlegung gilt offensichtlich auch in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$

Nun zur Irreduziblität:
1) Bedeutet, dass f nicht konstant sein soll, also grad(f)>0
2) Bedeutet, dass man f nicht in Polynome zerlegen kann, deren grad $\begin{eqnarray*} \geq 1 \end{eqnarray*}$ ist.

Beispiel:
x+1 ist irreduzibel (grad(f)=1 => einer der Faktoren muss grad 0 haben, d.h. der Faktor liegt in K)
x²+2x+1 ist nicht irreduzibel, da x²+2x+1=(x+1)(x+1)
5 ist nicht irreduzibel, da es gegen Punkt 1) verstößt

Bezüglich der Irreduziblität in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ solltest Du Dir system-agents Hinweis angucken.

Zitat:

1. Frage: Gibt es reelle Nullstellen? Falls ja, kann man diese abspalten mit einem Linearfaktor.

Wenn man das Polynom nämlich zerlegen kann, dann wären die Faktoren beide vom Grad 1 und man hätte dadurch auch eine Nullstelle. Ein Polynom vom Grad 2, das keine Nst. besitzt, kann nur irreduzibel sein.

Bezüglich der Irreduziblität in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ solltest Du von der obigen Zerlegung ausgehen und auch hier schauen, ob die beiden Faktoren Nullstellen haben.

Gruß,
Reksilat.

24.06.2010, 13:45

Claudia105

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danke Reksilat für die Erklärung von normiert, nun ist es auch verständlich für mich smile

Also in R gibt es keine Nullstellen. Damit ist es dann ja irreduzibel, weil man die beiden Faktoren nicht zerlegen kann. Ich überleg nur grad, wie ich es beweisen soll. Ich habe es für mich mit der pq-Formel gelöst, aber die wird bei uns nicht gerne gesehen unglücklich

Vielleicht mit quadr. Ergänzung oder weißt du eine bessere Möglichkeit?

Und bei C komme ich durch die pq Formel auf
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ +/- $\begin{eqnarray*} \sqrt{-0,75} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ +/- $\begin{eqnarray*} \sqrt{-0,75} \end{eqnarray*}$

Ich komm aber grad nicht darauf, was man damit machen kann. Wurzeln addieren geht ja leider nicht, auch wenn es hier super praktisch wäre, da 1/2 ja $\begin{eqnarray*} \sqrt{0,25} \end{eqnarray*}$ ist *g* Was könnte ich denn da nun machen? Wäre über nen Tipp dankbar. Mit den komplexen Zahlen muss ich mich auch erst noch anfreunden *g*

24.06.2010, 13:57

Claudia105

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PS: Ich weiß auch noch laut Vorlesung (auch wenn wir es nicht bewiesen haben), dass in C [t] jedes irred. Polynom den Grad 1 hat. Wenn also meine Zerlegung irreduzibel sein soll, dann muss ich es nochmal jeweils zerlegen können, oder?

24.06.2010, 14:14

Claudia105

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Ich bin noch auf die Idee gekommen zu ergänzen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{-0,75} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sqrt{-0,75-0,25 + 0,25 } \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1 + 0,25 } \end{eqnarray*}$
Aber dann weiß ich leider nicht weiter.

24.06.2010, 14:25

Reksilat

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Zitat:

Also in R gibt es keine Nullstellen. Damit ist es dann ja irreduzibel, weil man die beiden Faktoren nicht zerlegen kann.

Mit der pq-Formel siehst Du, dass das Polynom $\begin{eqnarray*} t^2-t+1 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ die Nullstellen $\begin{eqnarray*} 1/2\pm \sqrt{3/4}\cdot i \end{eqnarray*}$ hat. Das kann man eigentlich auch nicht anders schreiben Du könntest sie jetzt $\begin{eqnarray*} \alpha_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha_2 \end{eqnarray*}$ nennen, um Schreibarbeit einzusparen.
Mit diesen beiden Nullstellen sollte dann auch die Zerlegung in Linearfaktoren klappen.

Wenn Ihr, aus welchen Gründen auch immer, die pq-Formel nicht anwenden dürft, dann könntest Du noch über den Graphen der zugehörigen Polynomfunktion argumentieren, dass es keine reellen Nullstellen gibt. Ansonsten bin ich auch überfragt. Irgendwie muss man die Nullstellen ja schließlich bestimmen.
verwirrt

24.06.2010, 17:49

Claudia105

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Vielen lieben Dank Reksilat !!!

Ich habe die Aufgabe jetzt lösen können und verstanden *freu*

Danke für deine schnelle und ausführliche Hilfe!

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