Exponentialfunktionen

24.06.2010, 11:25

Andi24

Exponentialfunktionen

Hallo,

meine Frage, kann man $\begin{eqnarray*} a^x=\exp(\ln(a)x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ beweisen, ohne hierfür schon die Potenzgesetze für reelle Exponenten zu benutzen??

Wir sollen in der Übung diese Potenzgesetze beweisen und ich würd das gern über diese Gleichung machen, allerdings dürfen wir die nur verwenden wenn wir sie vorher bewiesen haben.

Ich find das überall nur als Definition.

Gruß und Danke

24.06.2010, 11:26

system-agent

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Dann kommt die Frage auf, wie ihr $\begin{eqnarray*} a^x \end{eqnarray*}$ definiert habt und was du verwenden darfst.

24.06.2010, 11:32

Andi24

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ich poste mal mein Übungsblatt, es geht um die Aufgabe 3

Aufgabe 3

Da ist a^x ja nur als stetige funktion definiert. Und verwenden darf ich Potenzgesetze für natürliche, ganze und rationale zahlen.

Der Betreuer meinte dazu: " linke Seite der Gleichung wird auf dem Übungsblatt definiert und rechte Seite ist bekannt"

Das hat mir nicht gerade weitergeholfen unglücklich

24.06.2010, 14:18

system-agent

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Die angegebene Funktion $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ ist auf $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ schon definiert, das ist die festlegung $\begin{eqnarray*} f(q)=a^q \end{eqnarray*}$ .

Nun sollst du die Funktion stetig nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ fortsetzen.
Damit sie auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig sein kann, definiere den Funktionswert für $\begin{eqnarray*} x_0\in\mathbb R\setminus\mathbb Q \end{eqnarray*}$ wie folgt:
Sei $\begin{eqnarray*} (q_n) \end{eqnarray*}$ eine Folge in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}q_n=x_0 \end{eqnarray*}$ [wieso gibt es das?].
Setze dann $\begin{eqnarray*} f(x_0):=\lim_{n\to\infty}f(q_n) \end{eqnarray*}$ .

Nun muss man zeigen, dass dies wohldefiniert ist. Sei also $\begin{eqnarray*} (q_n ') \end{eqnarray*}$ eine weitere Folge in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}q_n'=x_0 \end{eqnarray*}$ .
Nun musst du zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}(f(q_n)-f(q_n '))=0 \end{eqnarray*}$ .

Dazu brauchst du allerdings die Stetigkeit der Abbildung $\begin{eqnarray*} q\mapsto a^q \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ; oder mit den in (b) gezeigten Potenzgesetzen die Stetigkeit in Null.
Da muss ich allerdings noch darüber nachdenken wie man das am Besten einsehen kann.

Wie hast du denn (a) gezeigt?

24.06.2010, 14:28

Andi24

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bei der a) hab die Gleichung für alle $\begin{eqnarray*} q \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ bewiesen und dann auf die Stetiigkeit der e-Funktion verwiesen.

Ich danke dir schon mal für deine Mühe, die du dir machst Freude

Würde es denn ausreichen, wenn ich die stetige Fortsetzbarkeit auf die reellen Zahlen, damit begründe, dass Q dicht in R liegt??

24.06.2010, 15:50

system-agent

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Zitat:

Original von Andi24
bei der a) hab die Gleichung für alle $\begin{eqnarray*} q \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ bewiesen und dann auf die Stetiigkeit der e-Funktion verwiesen.

Das musst du mir mal erklären. Im Endeffekt musst du einfach zeigen, dass es in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ m-te Wurzeln gibt.

Zitat:

Original von Andi24
Würde es denn ausreichen, wenn ich die stetige Fortsetzbarkeit auf die reellen Zahlen, damit begründe, dass Q dicht in R liegt??

Genau das ist die Sache damit, dass es zu jeder reellen Zahl eine Folge von rationalen Zahlen gibt, welche die reelle Zahl als Grenzwert hat.

24.06.2010, 16:09

Andi24

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Zitat:

Original von system-agent

Zitat:

Original von Andi24
bei der a) hab die Gleichung für alle $\begin{eqnarray*} q \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ bewiesen und dann auf die Stetiigkeit der e-Funktion verwiesen.

Das musst du mir mal erklären. Im Endeffekt musst du einfach zeigen, dass es in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ m-te Wurzeln gibt.

Ja dann habe ich mich wohl missverständlich ausgedrückt smile

$\begin{eqnarray*} a^n=e^{ln(a)\cdot n}=(e^{ln(a)\cdot \frac{n}{m}})^m \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} , n \in \mathbb{Z} \quad m \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Das war ja kein Problem weil die Potenzgesetze "bis " zu den rationalen Zahlen ja bewiesen sind. Jetzt noch die m-te Wurzel ziehen.

$\begin{eqnarray*} \sqrt[m]{a^n}=e^{ln(a)\cdot \frac{n}{m}} \end{eqnarray*}$

Aus der Eindeutigkeit der m-ten Wurzel folgt

$\begin{eqnarray*} a^{\frac{n}{m}}=e^{ln(a)\frac{n}{m}} \end{eqnarray*}$

Es sollte doch in Teil c) gezeigt werden, dass es genau eine stetige Funktion gibt mit f(q)=a^q. Da ich ja jetzt bewiesen habe, dass ich a^q so umschreiben kann mit der e-Funktion, hab ich ja schon direkt dass sie stetig ist. Also darauf war die Stetigkeit von mir bezogen smile

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