Kompakte Menge

24.06.2010, 13:09

m0pf

Kompakte Menge

Tagchen.
Hab auf meinem aktuellen Übungsblatt ein Problem mit der Nummer 1.
Hier mal mein Blatt.
Blatt
Wie zeige ich das denn am besten? Mit abgeschlossen und beschränkt oder Heine-Borel?
Mein Problem ist, dass mir nicht ganz klar ist, wie ich Abgeschlossenheit und Beschränktheit zeigen kann und mit den Überdeckungen, die Heine-Borel erfordert, komm ich nicht wirklich klar....

24.06.2010, 13:15

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Zeige z.B. Abgeschlossenheit indem du zeigst, dass das Komplement offen ist. (Beschränktheit ist ja klar)

Wink

(Edit: Mit offenen Überdeckungen (Heine-Borel) gehts eigentlich fast noch einfacher...)

24.06.2010, 13:18

m0pf

Auf diesen Beitrag antworten »

Also beschränkt, da der Grenzwert des Ganzen im unendlichen (positiv+negativ) gegen 0 geht und 0 in der Menge liegt?

24.06.2010, 13:34

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Teilmenge M der reellen Zahlen ist beschränkt wenn es reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} m,n \end{eqnarray*}$ gibt mit

$\begin{eqnarray*} m \leq x \leq n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ .

Mit Anderen Worten, Du musst lediglich 2 bestimmte Zahlen finden um die Beschränktheit zu zeigen. Bedenke das die Folge 1/n Monoton fällt.

24.06.2010, 14:13

m0pf

Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre dann

inf(M)=0
sup(M)=1

eine Argumentation? Oder muss ich Maxima/Minima finden?
Wobei hier ja inf=min und sup=max wären oder?

24.06.2010, 14:19

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst nicht die kleinsten/größten Schranken finden. Du musst überhaupt nur irgend eine obere und untere Schranke finden. 0 und 1 sind Optimal, genauso könntest Du auch 10 und -10 nehmen. Wichtig ist nur das es solche Zahlen gibt. Es ist sogar so, beschränkte Mengen besitzen unendlich viele obere und untere Schranken.

24.06.2010, 15:15

m0pf

Auf diesen Beitrag antworten »

Noch zur Abgeschlossenheit:
Das Komplement wäre ja |R \ M also quasi |R_<0 oder?
Dann wäre das Komplement ja nach unten offen oder?
Und ist das Komplement offen gilt ja, dass die Menge abgeschlossen ist.

Passt das so, oder ist ein Denkfehler drin?

24.06.2010, 15:21

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Das Komplement wäre ja |R \ M also quasi |R_<0 oder?

Das ist falsch. Kennst Du die Aussage das abzählbare Teilmengen der reellen Zahlen stets abgeschlossen sind?

24.06.2010, 15:31

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Das ist falsch. Kennst Du die Aussage das abzählbare Teilmengen der reellen Zahlen stets abgeschlossen sind?

Weiter von der Wahrheit könnte diese Aussage nicht sein.

Gegenbeispiele: $\begin{eqnarray*} \{\frac{1}{n} | n \in \mathbb{N} \}, \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ etc. etc.

24.06.2010, 15:32

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, wie komm ich da drauf? verwirrt

24.06.2010, 15:34

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Für endliche Mengen ist es richtig (da IR Haussdorf'sch ist), vielleicht hattest du das im Kopf.

24.06.2010, 15:46

m0pf

Auf diesen Beitrag antworten »

Also falls das Hausdorf'sch an mich gerichtet war, hab ich noch nie gehört.
Was war jetzt mit meiner Aussage? Konnte das gerade nicht so richtig herauslesen^^

24.06.2010, 15:54

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Haussdorfsch war nicht an dich gerichtet.

Zitat:

Das Komplement wäre ja |R \ M also quasi |R_<0 oder?

Nein. Z.B. $\begin{eqnarray*} 0<4 \notin M \end{eqnarray*}$

Zitat:

Und ist das Komplement offen gilt ja, dass die Menge abgeschlossen ist.

Ja.

Mach' ein paar Fallunterscheidungen. x<0, 0<x<1 und 1<x und finde offene Mengen um x, welche M nicht schneiden (d.h. dass dieses x dann im Innern des Komplements liegt). Gilt das für alle x aus dem Komplement von M, dann hast du ja gezeigt, dass das Komplement offen ist.

24.06.2010, 16:02

m0pf

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kann denn x<0 sein bzw 0<x<1?
Oder meinst du damit nicht das n, dass den 1/n Term bestimmt?

edit:
Oder meinst du damit ein Element der Menge M?

24.06.2010, 16:10

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal von Anfang:

Du willst zeigen, dass M kompakt ist. Dazu zeigst du:

1) M ist beschränkt.

2) M ist abgeschlossen $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ das Komplement von M ist offen $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ für jeden Punkt x aus dem Komplement gibt es einen offenen Ball, welcher M nicht schneidet (= x ist Innerer Punkt des Komplements)

Um letzteres zu zeigen, habe ich vorgeschlagen eine Fallunterscheidung zu machen.

Alternativer Weg: Gegeben sei eine beliebige offene Überdeckung von M. Zeige, dass diese eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Beachte dabei zuallererst den Punkt 0!

24.06.2010, 16:21

m0pf

Auf diesen Beitrag antworten »

Mal kurz ein anderer Ansatz über den ich gerade in meinem Skript gestolpert bin:
Wenn man den metrischen Raum (R,d) betrachtet und x € R ein Häufungspunkt von A ist, ist x € A. Dies ist äquivalent zu A ist abgeschlossen.

Kann ich damit hier was anfangen?

24.06.2010, 16:45

m0pf

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, vergessen wir das einfach....
Wäre aber toll, wenn mir vielleicht jemand mal ein Beispiel für so einen offenen Ball vorrechnen könnte (muss ja nicht zu der Aufgabe sein, einfach allgemein).
Die Definition das eine Teilmenge U von X offen ist wenn gilt:
Für alle a aus U existiert ein Epsilon>0, sodass gilt: der Ball U_Epsilon (a) ist eine Teilmenge von U.
Aber irgendwie komm ich damit nicht so klar, wenn ich Offenheit "nachrechnen" soll...

24.06.2010, 17:07

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Wenn man den metrischen Raum (R,d) betrachtet und x € R ein Häufungspunkt von A ist, ist x € A. Dies ist äquivalent zu A ist abgeschlossen.

Ja, das ist richtig. Das Problem bei diesem Satz ist, dass man wisser muss, welches Häufungspunkte von M sind und welche Punkte keine sind. Hier ist einziger HFP 0, und der liegt in der Menge drin. Allerdings müsste man das zeigen. Und dazu muss man zeigen, dass jeder andere Punkt kein HFP ist, dass also ein offener Ball existiert, welcher M nicht schneidet. Womit wir wieder bei meinem Vorschlag wären. Augenzwinkern

(übrigens sieht man hier auch, dass der vorgeschlagene Weg eigentlich das Gleiche ist)

Hmm, hast du dir schonmal ein Bildchen mit Pünktchen gemalt? Denn eigentlich ist das vorliegende Problem recht anschaulich auf einer Geraden darstellbar... verwirrt

Naja, ich rechne mal vor:

Behauptung: Die zweielementige Menge A:={0,1} ist abgeschlossen.

Sei $\begin{eqnarray*} x \notin A \end{eqnarray*}$ . Ich behandle mal den Fall: 0<x<1. Wähle $\begin{eqnarray*} \epsilon := \min\{|x-0|, |x-1|\} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt für alle y mit $\begin{eqnarray*} |x-y|< \epsilon \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |1-y| \overset{(*)}{\geq} |1-x|-|x-y| > \epsilon - \epsilon = 0 \end{eqnarray*}$

(*): Dreiecksungleichung.

Also insbesondere $\begin{eqnarray*} y \neq 1 \end{eqnarray*}$ . Analog zeigt man $\begin{eqnarray*} y \neq 0 \end{eqnarray*}$

So formal aufgeschrieben siehts jedoch viel komplizierter aus, als es eigentlich ist.

Versuche dir eine Anschauung zu machen! Und ansonsten musst du halt ne Weile drüber brüten, das muss jeder, der etwas neues verstehen will.

Neue Frage »

Antworten »

Kompakte Menge

Verwandte Themen