Lipschitz

Neue Frage »

BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »
Lipschitz
Kann mir mal einer sagen was der Unterschied zwischen lokal Lipschitzstetig und Lipschitzstetig ist für Funktionen der Form auf einem beliebigen metrischen Raum X.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Beispiel wäre



Um jeden Punkt finden wir eine Umgebung U (jede beschränkte Umgebung in diesem Fall) auf welcher die Funktion Lipschitzstetig ist, denn



Also ist die Funktion lokal Lipschitz stetig, jedoch nicht Lipschitz stetig.

Wink
BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hab in meiner Aufgabe zwei Lipschitzstetige Funktionen gegeben f,g und möchte zeigen dass lokal lipschitz ist. Wie schätze ich denn ab?

Zuerst war meine Idee jeweils im Bruch (Nenner und Zähler) entsprechend abzuschätzen aber das darf ich nicht denn beispielsweise gilt ja für und aber .
BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich so abschätzen dass ich zu



abschätze stimmt das und dann weiter nach oben abschätzen für (1/g)

Etwas anderes fällt mir nicht ein.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nehme mal an, dass als zusätzliche Einschränkung nur diejenigen Punkte betrachtet werden, wo ist.

Zitat:


Das stimmt allgemein nicht. z.B. auf [-1,1]

Dann ist



Also

BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »

und

O.K. Ich weiß dass f und g Lipschitzstetig sind.

Dann kann man schreiben



Es folgt dann die Lipschitz Stetigkeit (für eine Umgebung)
 
 
Gastmathematiker Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von BanachraumK_5
und

O.K. Ich weiß dass f und g Lipschitzstetig sind.

Dann kann man schreiben



Es folgt dann die Lipschitz Stetigkeit (für eine Umgebung)


Es macht aber keinen Sinn, in einem metrischen Raum von einer Norm zu reden! Zudem folgt aus in einem normierten Raum noch nicht mal die Stetigkeit, erst recht keine Lipschitzstetigkeit.
BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Es macht aber keinen Sinn, in einem metrischen Raum von einer Norm zu reden!

Wie dumm von mir!

Ums nochmal sauber zu formulieren ich muss zeigen dass eine Lipschitzkonstante derart existiert, dass

, wobei U eine Umgebung von X sei.

Ich fange so an:



So und nun würde ich gerne den zweiten Term nach oben abschätzen, dass ist meine Idee.

Das Produkt Lipschitz stetiger Funktionen ist ja nicht unbedingt Lipschitzstetitg.

Das kann doch nur eine kleine Abschätzung sein, gebe mir mal bitte jmd. einen entsprechenden hinweis. Muss ich vielleicht einfach stetigkeit benutzen und dann als Konstante wählen ?
BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »

oder kann ich sogar einfach schreiben:

gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Deine letzte Aussage verstehe ich nicht. Du schreibst einfach hin, was du zeigen solltest (denn offensichtlich ist die Ungleichung mit Sicherheit nicht) und fragst dann, ob man das auch so machen könnte... geschockt

Noch ein konstruktiver Beitrag von mir:

Gastmathematiker Auf diesen Beitrag antworten »

Noch als Ergänzung zu gonnabphd Beitrag, ist keine Konstante, das hängt doch von x und y ab. Den Term musst du also auch abschätzen.
BanachraumK_5 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Noch als Ergänzung zu gonnabphd Beitrag, ist keine Konstante, das hängt doch von x und y ab. Den Term musst du also auch abschätzen.


Ja da nach lokaler Lipschitz-Stetigkeit gefragt ist werde ich den Term
Zitat:
\frac{1}{g(x) \cdot g(y)}
durch das Infimum abschätzen also dass Infimum von


Zitat:
BanachraumK_5


Ja danke dann sieht man sofort wie man abschätzen kann.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »