Konvergenzbereich bestimmen

24.06.2010, 21:52

bandchef

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Konvergenzbereich bestimmen

Hi Leute!

Ich soll den Konvergenzbereich von folgender Reihe bestimme:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{k^3}{3^k}*(x-1)^k \end{eqnarray*}$

Ich hab dann hier mal auf die ganze Reihe das Wurzelkriterium angewendet. Ich bekomm jetzt nach der Anwendung des limes folgendes Ergebnis: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}x-\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ .

Mich stört das x...

Normalerweise berechnet man ja erstmal den Konvergenzradius und gibt dann den Bereich davon an. Aber wie soll ich denn jetzt den Radius berechnen? Ich kann ja schlecht $\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ berechnen.

Könnt ihr mir weiterhelfen?

24.06.2010, 23:25

lgrizu

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RE: Konvergenzbereich bestimmen
was ist denn hier los, etliche fragen zu konvergenzradius diese woche....
zuerst einmal sollst du den konvergenzradius bestimmen, und nicht für welche x die potenzreihe nach dem quotientenkriterium konvergiert.

also $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } | \frac{a_n}{a_{n+1}} |= \lambda \end{eqnarray*}$ .
existiert dieser grenzwert, so ist lambda der konvergenzradius.

das quotentenkriterium sagt aus, dass eine Reihe konvergiert, wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } | \frac{a_{n+1}}{a_{n}} |\leq q \end{eqnarray*}$ ist für ein festes q<1.

du kannst den entwicklungspunkt x_0=1 erst einmal vernachlässigen, benötigst du erst, wenn du den konvergenzbereich bestimmen willst, also zum schluss.

berechne jetzt erst mal den konvergenzradius....

edit: sorry, hab gerade "wurzelkriterium" überlesen, das wurzelkriterium sagt aus, dass eine reihe konvergent ist, wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }~^n\sqrt{|a_n|} \leq q \end{eqnarray*}$ für ein festes q<1.
du kannst natürlich auch die formel von cauchy-hadamard verwenden:
$\begin{eqnarray*} (\lim~sup ~^n\sqrt{| a_n| })^{-1}=\lambda \end{eqnarray*}$ , wobei lambda der konvergenzradius ist.

24.06.2010, 23:36

Kühlkiste

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RE: Konvergenzbereich bestimmen

Zitat:

Original von bandchef
Könnt ihr mir weiterhelfen?

Wie oft denn noch?

matheboard.de/thread.php?threadid=419225

matheboard.de/thread.php?threadid=420975

und das sind nur 2 von vielen Threads die Du zu diesem Thema schon eröffnet hast.

Eigentlich wurde in dieser Sache schon mehrfach alles Nötige gesagt.

24.06.2010, 23:53

lgrizu

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RE: Konvergenzbereich bestimmen
@kühlkiste:
hab die mal als link neu eingefügt, stimmt, eigentlich ist alles gesagt....

matheboard.de/thread.php?threadid=419225

matheboard.de/thread.php?threadid=420975

25.06.2010, 13:25

bandchef

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Hey Leute!

Ich weiß, dass ich schon einige Threads dazu eröffnet habe. Ich hab auch nicht unbedingt das Problem dass ich nicht weiß wie ich das Quotientenkriterium bzw. das Wurzelkriterium anwende, sondern viel mehr weiß ich immer nicht auf welchen Teil der Reihe ich das jeweilige Kriterium anwenden muss. Soll ich jetzt das entsprechende Kriterium auf den Teil $\begin{eqnarray*} (x-1)^k \end{eqnarray*}$ oder den Teil $\begin{eqnarray*} \frac{k^3}{3^k} \end{eqnarray*}$ der Reihe anwenden? Gibts da eine Regel?

25.06.2010, 13:33

bandchef

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Zitat:

zuerst einmal sollst du den konvergenzradius bestimmen, und nicht für welche x die potenzreihe nach dem quotientenkriterium konvergiert.

Gut, ich möchte den nun den Konvergenzradius der $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{k^3}{3^k}*(x-1)^k \end{eqnarray*}$ berechnen.

Das mache ich ja nun mit $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } | \frac{a_k}{a_{k+1}} |= r \end{eqnarray*}$ . Und nun eben meine Frage auf welchen Teil der Reihe ich den Konvergenzradius berechnen soll.

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25.06.2010, 13:52

bandchef

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Ich hab nun r=3 berechnet. Jetzt soll ich den Konvergenzbereich bestimmen. Wie gehts nun hier weiter?

26.06.2010, 14:10

lgrizu

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konvergenzradius r=3 sieht auf den ersten blick richtig aus.
jetzt überleg dir, dass die potenzreihe in einem radius von r=3 um den entwicklungspunkt konvergiert und dass der konvergenzbereich ein intervall im reellen ist (im komplexen ein Kreis).
dein entwicklunspunkt ist x_0=1, wie sieht also dein konvergenzbereich aus?

26.06.2010, 14:39

bandchef

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Woher weißt du, dass der Entwicklungspunkt x_0=1 ist? Wo kann man das an der Reihe ablesen?

26.06.2010, 14:41

Iorek

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RE: Konvergenzbereich bestimmen
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{k^3}{3^k}*(x-\underbrace{1}_{\uparrow})^k \end{eqnarray*}$

26.06.2010, 14:51

bandchef

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Danke iorek für deine Antwort.

Zitat:

jetzt überleg dir, dass die potenzreihe in einem radius von r=3 um den entwicklungspunkt konvergiert und dass der konvergenzbereich ein intervall im reellen ist (im komplexen ein Kreis).

Bei meiner Aufgabe steht leider nicht dabei ob die Aufgabe im Reellen oder im Komplexen betrachtet wird. Was mach ich dann an dieser Stelle z.B. in einer Prüfung? Soll ich beide Bereich zeichnen?

Ich hab die Bereich für beide Zahlenmengen mal gezeichnet... Seht ihr unten im Bild. Vielleicht sagt ihr mir ja ob's so stimmt...

Danke!

26.06.2010, 15:00

lgrizu

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auf deinem bild konvergiert sie im entwicklungspunkt x_0=0 mit dem konvergenzradius 3.

deine reihe hat aber den entwicklungspunkt x_0=1, also falsches intervall...

edit: es ist auch noch nachzuprüfen, wie sich die reihe an den rändern verhält, ob sie dort konvergiert oder divergiert (also ob das intervall offen oder geschlossen ist, oder an einer seite offen....)

26.06.2010, 15:09

bandchef

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Zitat:

edit: es ist auch noch nachzuprüfen, wie sich die reihe an den rändern verhält, ob sie dort konvergiert oder divergiert....

Wie bestimmt man das Verhalten an den Rändern?

Unten das Bild des neuen Konvergenzbereiches

26.06.2010, 15:13

lgrizu

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nu ist gut.
dass der konvergenzradius im komplexen einen kreis ergibt sollte nur als (zusätzliche) information dienen.

wenn du nun die ränder einsetzt kannst du mit hilfe verschiedenster kriterien überprüfen, wie sich die reihe dort verhält (quotientenkriterium, wurzelkriterium, minorante-, majorantenkriterium, leibniz etc.)

26.06.2010, 15:16

bandchef

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Zitat:

wenn du nun die ränder einsetzt kannst du mit hilfe verschiedenster kriterien überprüfen, wie sich die reihe dort verhält (quotientenkriterium, wurzelkriterium, minorante-, majorantenkriterium, leibniz etc.)

Das heißt, ich muss in die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{k^3}{3^k}*(x-1)^k \end{eqnarray*}$ für x einmal den linken Rand (also -2) und einmal den rechten Rand (also 4) einsetzen und danach auf die "neu" entstandene Reihe nochmals jeweilige Kriterium anwenden?

26.06.2010, 15:36

bandchef

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Ich hab jetzt mal für den linken Rand die Reihe nochmals mit dem Quotientenkriterium berechnet. Das Ergebnis ist 3 was ja größer 0 ist wodurch Divergenz an diesem Rand folgt. Ist das soweit korrekt?

26.06.2010, 17:13

lgrizu

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wenn man den linken rand einsetzt erhält man $\begin{eqnarray*} \sum \frac{k^3(-3)^k}{3^k}=\sum(-1)^kk^3 \end{eqnarray*}$ und diese ist sicherlich divergent.
aber beim quotientenkriterium ist die divergenzaussage richtig, wenn das ergebnis größer/gleich 1 ist und nicht größer 0.

26.06.2010, 17:15

system-agent

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Soso, das hast du also?

Linker Rand bedeutet $\begin{eqnarray*} x=-2 \end{eqnarray*}$ , dann ist also $\begin{eqnarray*} -2-1=-3 \end{eqnarray*}$ und daher ist die betreffende Reihe dort
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{k^3}{3^k}(-3)^k=\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^k k^3 \end{eqnarray*}$
und das ist konvergent?

Edit:
Sorry Ups

Ups

.

26.06.2010, 17:16

lgrizu

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@system agent:
da hatse dich verlesen, bandchef schreibt, dass die reihe am rand divergent ist..

Zitat:

Original von bandchef
Das Ergebnis ist 3 was ja größer 0 ist wodurch Divergenz an diesem Rand folgt. Ist das soweit korrekt?

26.06.2010, 17:18

system-agent

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Stimmt ! Wer lesen kann ist eben doch klar im Vorteil Hammer

Hammer

!

09.04.2012, 19:55

KingWarrior

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Ich habe nun auch dieses Thema in Mathe und gleich das Problem , wie ich den Koeffizienten a_k bestimme. Wie macht man das bei genau dieser Potenzreihe? Was muss ich da denn umformen oder wie erkenne ich das?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{k^3}{3^k}(x-1)^k \end{eqnarray*}$

13.04.2012, 21:11

lgrizu

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@KingWarrior:

Wenn du dich an ein zwei Jahre altes Thema anhängst musst du dich nicht wundern, wenn du entweder gar keine oder eine recht späte Antwort bekommst, eröffne doch einfach ein neues (du kannst darin natürlich auf dieses hier Bezug nehmen) .

Bei deiner Potenzreihe muss man gar nichts umformen, man kann den Konvergenzradius einfach mit dem Quotientenkriterium bestimmen. Das Konvergenzintervall ergibt sich dann durch den Entwicklungspunkt.

13.04.2012, 22:00

Totto-GE

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Und vor allem, was bedeutet DER Koeffizient $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ .
Für den Entwicklungspkt. $\begin{eqnarray*} x_0 =1 \end{eqnarray*}$ ist alles gesagt.

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