Konvergenz mehrerer uneigentlicher Integrale

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Blacks Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz mehrerer uneigentlicher Integrale
Guten Morgen zusammen!

Nachdem ich eigentlichen dachte, die Intergrale durchschaut zu haben, machen mir nun die uneigentlichen Integrale grße Schwierigkeiten.
Ich versuche, für 8 uneigentliche Integrale nachzuweisen, ob sie konvergieren und möchte ihren Wert gegebenfalls berechnen.
Bereits die ersten drei kann ich nicht lösen und deshalb befürchte ich, dass mein Vorgehen falsch ist.







Meine Gedanken bisher:
a) Ich habe substituiert und erhalte , was aber durch den Nenner ja wieder das gleiche Problem birgt, wie das Ausgangsintegral. Oder bedeutet dies etwa, dass es divergiert?
b) Ich habe substituiert und erhalte über die Beziehung folgenden Ausdruck: . Dadurch wird das Integral ja unendlich groß, divergiert es also oder habe ich einen Fehler gemacht?
c) Hier stehe ich komplett auf dem Schlauch. Wahrscheinlich muss ich die gleiche Beziehung wie in b) nutzen, ich kann aber nicht sehen, wie...

Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
Vielen Dank bereits im Voraus!


Edit: Tippfehler in der Überschrift...
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Oder bedeutet dies etwa, dass es divergiert?


Ja dieses Integral dürfte divergieren Freude

Zitat:
Dadurch wird das Integral ja unendlich groß, divergiert es also oder habe ich einen Fehler gemacht?


Der Ausdruck den du berechnet hast, divergiert. Ob du das Integral richtig berechnet hast kannst du doch selbst durch differenzieren prüfen.

Zitat:
c) Hier stehe ich komplett auf dem Schlauch. Wahrscheinlich muss ich die gleiche Beziehung wie in b) nutzen, ich kann aber nicht sehen, wie...


Drück cosh doch mal durch exp-Funktionen aus und subsituiere dann.
Blacks Auf diesen Beitrag antworten »

Zu a) und b):
Die Integrale, die ich berechnet habe, sind laut wolfram richtig.
Aber kann ich denn einfach sagen, dass die Integrale divergieren, wenn ihre Stammfunktionen divergieren?
Kühlkiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Blacks
Aber kann ich denn einfach sagen, dass die Integrale divergieren, wenn ihre Stammfunktionen divergieren?


Wie habt ihr denn uneigentliche Integrale definiert?
Blacks Auf diesen Beitrag antworten »

OK, verstanden!

c) habe ich auch lösen können (Konvergenz gegen ).
Von den nächsten 5 Integralen, bereiten mir allerdings wieder 4 Probleme:









Meine Ideen:
d) Durch die Substitution komme ich auf die Form . Das Integral hiervon sollte ja, glaube ich, sein. Nur weiß ich nicht, wie ich darauf komme.
e) Mein Ansatz mit partieller Integration führte mich zu keinem Ergebnis.
g) Wieder partielle Integration, die aber zu . Also nicht gerade zu einem sinvollen Ergebnis.
h) Ich schätze, dass sich dieses Integral ähnlich lösen lasst wie g). Also ohne g) kein h) Augenzwinkern
Kühlkiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Blacks
Meine Ideen:
d) Durch die Substitution komme ich auf die Form . Das Integral hiervon sollte ja, glaube ich, sein. Nur weiß ich nicht, wie ich darauf komme.

Schreibe



und beachte die Quotientenregel!

Insgesamt folgt dann:



Zitat:
Original von Blacks
e) Mein Ansatz mit partieller Integration führte mich zu keinem Ergebnis.

Das könnte er aber. Z.B. so:

Sei

Mit partieller Integration zeigt man die Rekursion:



und folgert

 
 
Blacks Auf diesen Beitrag antworten »

Werde mich gleich mal ransetzen...
Hat vielleicht noch jemand in der Zwischenzeit Tipps für f) und g)?
Blacks Auf diesen Beitrag antworten »

Ich will nicht unbedingt ein neues Thema eröffnen, deshalb hole ich dieses wieder hoch.
Nachdem ich mich zwischenzeitlich der Physik widmen musste, kann ich mich nun wieder auf die Integrale konzentrieren Augenzwinkern

d) konnte ich nun durch den Tipp von kühlkiste bestimmen.
bei e) komme ich mir partieller Integration nun zu der gleichen Form, kann aber die Folgerung zur Summe nicht nachvollziehen. Könnte mir dies noch jemand erklären.

Für g) und h) fehlt mir auch weiterhin noch jeder (erfolgreiche) Ansatz. Wie gesagt, schein die partielle Integration hier - zumindest bei mir - nicht zu funzen.

Wäre super, wenn mir noch einer von euch helfen könnte!
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz mehrerer uneigentlicher Integrale
Jeweils ln(x)=u substituieren...
Blacks Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank!
Mit der Substitution wars nicht mehr schwer.

Jetzt bleibt mir nur noch die Folgerung von Kühlkiste zu der Summe bei e) ein Rätsel.
Kühlkiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Blacks
Jetzt bleibt mir nur noch die Folgerung von Kühlkiste zu der Summe bei e) ein Rätsel.


Plausibel machen kannst Du Dir das, wenn Du anhand der Rekursionsformel z.b. mal ermittelst.

Beweisen kannst Du's dann z.B. per Induktion oder einfach durch Differenzieren.
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