Satz über die Umkehrfunktion

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25.06.2010, 10:18	redips	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz über die Umkehrfunktion Hallo ich habe folgende Aufgabe gestellt bekommen: Es sei f: $\begin{eqnarray} \mathbb R^{2} -> \mathbb R^{2} mit f(x,y)= \begin{pmatrix} x^{3}-3xy^{2}-y \\ x+3x{2}y-y{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 1. Bestimmen Sie [df(x,y)]. 2. Bestimmen Sie B:={(x,y) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R^{2} \end{eqnarray}$ \|df(x,y) ist nicht invertierbar} 3. Berechnen Sie f(x,-x) und zeigen Sie, dass die Einschränkung von f auf $\begin{eqnarray} \mathbb R^{2} \end{eqnarray}$ \B nicht injektiv ist. So ich habe mit den partiellen ableitungen der Matrix die Jacobsmatrix was ja die Ableitung einer Matrize ist gebildet und habe folgende Matrix raus bekommen: $\begin{eqnarray} df=\begin{pmatrix} 3x^{2}-3y^{2} & 6xy-1 \\ 1+6xy & 3x^{2}-3y^{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ somit ist 1. gelöst und dann ist eine Matrix invertierbar wenn die Determinante ungleich 0 ist daraus folgt: $\begin{eqnarray} (3x^{2} -3y^{2})(3x{2}-3y^{2}) - ((6xy-1)(1+6xy)) \end{eqnarray}$ ausgerechnet ergibt sich dafür $\begin{eqnarray} 9x^{4}-54x^{2}y^{2}+9y^{4}+1 \end{eqnarray}$ so nun die erste Frage: habe ich das so richtig berechnet? und wie mache ich jetzt weiter, wenn ich ein x auf x=1 setze kann ich y ja berechnen bekomme dann 4 verschiedene y raus, soll ich das so machen? weil das alles so krum ist bin ich etwas verunsichert. bei 3. bräuchte ich einen tip wie ich f(x,-x) berechnen kann wenn ich f(x,y) gegeben bekommen habe und auch wie zeigen soll das die Einschränkung nicht injektiv ist... vielen dank für die HILFE
25.06.2010, 10:57	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Jacobimatrix [nicht Jacobsmatrix ] hat noch einen kleinen Vorzeichenfehler, schau nochmal die Ableitung der ersten Komponente nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ an. Für die zweite Aufgabe beachte, dass $\begin{eqnarray} z^2 \end{eqnarray}$ nur dann Null ist, wenn $\begin{eqnarray} z=0 \end{eqnarray}$ gilt. Um $\begin{eqnarray} f(x,-x) \end{eqnarray}$ zu berechnen musst du einfach einsetzen, also setze $\begin{eqnarray} y=-x \end{eqnarray}$ ein.
25.06.2010, 11:36	redips	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Jacobimatrix [nicht Jacobsmatrix Augenzwinkern ] hat noch einen kleinen Vorzeichenfehler, schau nochmal die Ableitung der ersten Komponente nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ an. Zu 2.: den sehe ich nicht wenn ich $\begin{eqnarray} x^{3}-3xy^{3}-y \end{eqnarray}$ nach x ableite kommt doch $\begin{eqnarray} 2x^{2}-3y^{2} \end{eqnarray}$ raus oder bin ich dumm? ach ja das $\begin{eqnarray} \mathbb R^{2} -> \mathbb R^{2} mit f(x,y)= \begin{pmatrix} x^{3}-3xy^{2}-y \\ x+3x{2}y-y{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ soll richtig: $\begin{eqnarray} \mathbb R^{2} -> \mathbb R^{2} mit f(x,y)= \begin{pmatrix} x^{3}-3xy^{2}-y \\ x+3x^{2}y-y{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ heißen. da komme ich aber trotzdem nicht weiter ich habe jetzt x=1 gesetzt und habe $\begin{eqnarray} z^{2}-6z+10/9 \end{eqnarray}$ als gleichung für y^2=z bekommen. da bekomme ich aber doch keine allgemeine form hin oder? das ist doch nicht nur null wenn z^2 null ist. sorry das verstehe ich nicht ganz zu 3.: so f(x,-x) hab ich jetzt aufgestellt: $\begin{eqnarray} f(x,-x)= \begin{pmatrix} x^{3}-3x^{2}+x \\ x-3x^{2}+x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bei drei weiß ich nicht wie ich die injektivität zeigen kann... kann mir das vielleicht einer zeigen?
25.06.2010, 11:48	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest ein bischen sorgfältiger hinschreiben mit den Exponenten. Nunja, leitet man $\begin{eqnarray} x^3-3xy^2-y \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ ab, dann kriegt man $\begin{eqnarray} -6xy-1 \end{eqnarray}$ . Wenn du dann die Determinante ausrechnest, beachte, dass $\begin{eqnarray} -6xy-1= -(1+6xy) \end{eqnarray}$ ist. Das heisst das Minus aus der Determinantenberechnung verwandelt sich und du kriegst eine Summe von zwei Quadratzahlen.
25.06.2010, 12:12	redips	Auf diesen Beitrag antworten »
ok... danke das war mein fehler! so für die Determinante habe ich jetzt $\begin{eqnarray} 9x^{4}+18x^{2}y^{2}+12xy+9y^{4}+1 \end{eqnarray}$ raus. damit lässt sich doch noch schlechter rechnen oder? also ich komme da irgendwie nicht weiter! da und für die 3. könnte ich noch ne hand gebrauchen
25.06.2010, 12:49	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist ziemlich unvorteilhaft das alles auszumultiplizieren. Also die Determinante ist $\begin{eqnarray} (3x^2-3y^2)^2+(1+6xy)^2 \end{eqnarray}$ . Das ist eine Summe von zwei Quadraten. Quadrate haben eine nette Eigenschaft: Sie sind immer grösser als Null sobald man etwas quadriert was nicht Null war. Also wann kann die Determinante Null sein? Was muss für $\begin{eqnarray} 3x^2-3y^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1+6xy \end{eqnarray}$ gelten? Das liefert Bedingungen.
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25.06.2010, 13:09	redips	Auf diesen Beitrag antworten »
hmmm, ja so hab ich es mit deinem tip auch hingeschrieben gehabt. Irgendwie stehe ich da aber gerade auf dem Schlauch, wenn x und y = 0 sind dann ist die Determinante = 1... echt mal ich hab keine ahnung wie ich weiter komme... traurig aber wahr
25.06.2010, 13:11	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann sage mir mal, für welche reellen Zahlen $\begin{eqnarray} z,w \end{eqnarray}$ die Gleichung $\begin{eqnarray} z^2+w^2=0 \end{eqnarray}$ erfüllt ist.
25.06.2010, 13:18	redips	Auf diesen Beitrag antworten »
nur für z,w=0 da bei jeder anderen zahl eine Zahl größer 0 rauskommen würde wegen den quadraten
25.06.2010, 13:21	redips	Auf diesen Beitrag antworten »
aber wenn ich das auf die Aufgabe beziehe, dann ist ja mein problem das ich nicht die eine Klammer so und die andere anders berechnen kann, die hängen ja beide von x und y ab. für die rechte gleichung von $\begin{eqnarray} (3x^2-3y^2)^2+(1+6xy)^2 \end{eqnarray}$ müssen x und y gleich sein damit 0 raus kommt und auf der rechten seite muss 6xy=-1 raus kommen damit das null wird
25.06.2010, 13:22	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz genau . Nun schau dir nochmal $\begin{eqnarray} (3x^2-3y^2)^2+(1+6xy)^2=0 \end{eqnarray}$ an. Fällt dir eine Ähnlichkeit auf? Falls ja: Was muss also für $\begin{eqnarray} 3x^2-3y^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1+6xy \end{eqnarray}$ gelten?
25.06.2010, 13:23	redips	Auf diesen Beitrag antworten »
ja für die erste x=y und für die zweite 6xy=-1 aber für das zweite geht das dann nicht!
25.06.2010, 13:24	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast richtig. Es stimmt, dass $\begin{eqnarray} 1+6xy=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x^2-y^2=0 \end{eqnarray}$ gleichzeitig gelten muss, damit die Determinante Null ist. Nun also aus der zweiten Bedingung folgt $\begin{eqnarray} xy=-\frac{1}{6} \end{eqnarray}$ [als insbesondere $\begin{eqnarray} (x,y)\neq(0,0) \end{eqnarray}$ . Aus $\begin{eqnarray} x^2-y^2=0 \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} x^2=y^2 \end{eqnarray}$ und das bedeutet $\begin{eqnarray} \|x\|=\|y\| \end{eqnarray}$ [wieso?].
25.06.2010, 13:33	redips	Auf diesen Beitrag antworten »
weil quadratzahlen immer gerade ergebnisse haben, daher betrag. füren die beiden aussagen jetzt nicht zum widerspruch? aaaaaaaaaaaaaaaaah!!!!!!!!! tun sie nicht weil die Vorzeichen bei den Quadraten keine rolle spielt so kann $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{6} } \end{eqnarray}$ und y - $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{6} } \end{eqnarray}$ sein aha, wie schreibe ich dass denn dann allgemein für B auf? $\begin{eqnarray} B={(x,y)\|det df(x,y):xy=-\frac{1}{6} } \end{eqnarray}$ ?
25.06.2010, 13:38	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Na es gibt 2 Möglichkeiten: Entweder $\begin{eqnarray} x=-\frac{1}{\sqrt{6}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=\frac{1}{\sqrt{6}} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x=\frac{1}{\sqrt{6}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=-\frac{1}{\sqrt{6}} \end{eqnarray}$ , das führt auf 2 Punkte.
25.06.2010, 13:40	redips	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank :-) kannst du mir in Punkt 3. noch weiterhelfen wie ich mit f(x,-x) das ich schon aufgestellt habe und die Einschränkung von f um B nicht injektiv ist, also wie zeige ich da die injektivität?
25.06.2010, 13:44	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst solltest du nochmal das überprüfen, was du für $\begin{eqnarray} f(x,-x) \end{eqnarray}$ erhalten hast.
25.06.2010, 13:50	redips	Auf diesen Beitrag antworten »
ok $\begin{eqnarray} f(x,-x)=\begin{pmatrix} x^{3}-3x^{3}+x \\ x-3x^{3}+x^{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
25.06.2010, 14:00	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Und das kann man sogar noch ein bischen mehr zusammenfassen . Damit es nicht injektiv ist musst du zwei Punkte $\begin{eqnarray} (x_1,y_1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (x_2,y_2) \end{eqnarray}$ finden die nicht gleich sind, also $\begin{eqnarray} (x_1,y_1)\neq(x_2,y_2) \end{eqnarray}$ aber trotzdem $\begin{eqnarray} f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2) \end{eqnarray}$ gilt.
25.06.2010, 14:15	redips	Auf diesen Beitrag antworten »
da y und x mit $\begin{eqnarray} f(x,-x)= \begin{pmatrix} -2x^{3}+x \\ -2x^{3}+x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gleich sind hilft es mir nur das (a,b) ungleich (b,a) kann ich denn einen punkt von x nehmen mit 1 und einen punkt von y mit 2 und die dann vertauschen und somit zeigen das es nicht injektiv ist?
25.06.2010, 14:20	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Was bedeutet es wenn die Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nicht injektiv ist? Es heisst genau das was ich oben geschrieben habe: Man muss zwei Punkte finden die nicht gleich sind, aber deren Funktionswerte gleich sind. Nun da man schon $\begin{eqnarray} f(x,-x) \end{eqnarray}$ berechnen sollte liegt es irgendwie doch nahe mal zu schauen, ob man solche Punkte finden kann, die von dieser speziellen Gestalt sind. Nehmen wir doch mal an, dass $\begin{eqnarray} x_1\neq x_2 \end{eqnarray}$ ist. Dann wäre sicher auch $\begin{eqnarray} (x_1,-x_1)\neq(x_2,-x_2) \end{eqnarray}$ . Nun berechne $\begin{eqnarray} f(x_1,-x_1) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f(x_2,-x_2) \end{eqnarray}$ und setze die Werte einfach mal gleich. Daraus kriegst du eine Gleichung [welche?] die $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ erfüllen müssen.
25.06.2010, 14:32	redips	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm ich weiß nicht ob ich das gerade richtig mache: $\begin{eqnarray} f(x_1,-x_1)=f(x_2,-x_2)\Rightarrow \begin{pmatrix} -2x_1^{3}+x_1 \\ -2x_1^{3}+x_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2x_2^{3}+x_2 \\ -2x_2^{3}+x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ das sind dann zwei gleichungen oder hab ich das falsch aufgeschrieben?
25.06.2010, 14:39	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist alles OK . Das heisst damit die Funktionswerte gleich sein können, muss $\begin{eqnarray} -2x_1^3+x_1=-2x_2^3+x_2 \end{eqnarray}$ erfüllt sein. Nun forme das ein bischen weiter um, bringe alles auf eine Seite und nutze $\begin{eqnarray} a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) \end{eqnarray}$ um $\begin{eqnarray} (x_1-x_2) \end{eqnarray}$ auszuklammern. Es soll $\begin{eqnarray} x_1\neq x_2 \end{eqnarray}$ gelten, also darfst du durch $\begin{eqnarray} (x_1-x_2) \end{eqnarray}$ teilen. Wähle dann einfach mal zb. $\begin{eqnarray} x_2=0 \end{eqnarray}$ und schaue, ob du einen Wert für $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ kriegst, der nicht Null ist.
25.06.2010, 14:55	redips	Auf diesen Beitrag antworten »
ich komme auf 0=2x_1^{3}-2x_2^{3}+x_1-x_2 \Rightarrow 0=2(x_1-x_2)((2x_1^{2}+4x_1x_2+2x_2^{2})+1) das durch (x_1-x_2) geteilt: 2(2x_1^{2}+4x_1x_2+2x_2^{2})+1 weiter komme ich da nicht
25.06.2010, 14:56	redips	Auf diesen Beitrag antworten »
so ich habe jetzt $\begin{eqnarray} 0=2x_1^{3}-2x_2^{3}+x_1-x_2 \Rightarrow 0=2(x_1-x_2)((2x_1^{2}+4x_1x_2+2x_2^{2})+1) das durch (x_1-x_2) geteilt: 2(2x_1^{2}+4x_1x_2+2x_2^{2})+1 \end{eqnarray}$ weiter komme ich da nicht
25.06.2010, 15:04	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht ganz richtig. Es muss heissen $\begin{eqnarray} 0=2(x_1^3-x_2^3)+(x_2-x_1)=2(x_1^3-x_2^3)-(x_1-x_2) \end{eqnarray}$ . Dann kommst du auf $\begin{eqnarray} 0=2(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)-1 \end{eqnarray}$ . Nun setze doch einfach mal $\begin{eqnarray} x_2=0 \end{eqnarray}$ und schaue was passiert.
25.06.2010, 15:11	redips	Auf diesen Beitrag antworten »
jetzt hab ich damit sind x_1 und x_2 nicht gleich und damit ist f nicht injektiv... vielen dank :-)
25.06.2010, 15:13	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Also du musst die Werte schon noch angeben. Du kriegst damit die Punkte $\begin{eqnarray} (0,0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \end{eqnarray}$ .

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