Lineare Abhängigkeit, Beweissätze.

25.06.2010, 11:06

mrburns

Lineare Abhängigkeit, Beweissätze.

Meine Frage:
Hallo, ich habe meine Schule schon beendet. also ist es keine Hausaufgabe.
Trotzdem möchte ich mich jetzt schon fürs Studium vorbereiten, d.h ich geh noch mal die alten Sachen durch.

Und da bin ich auf diese Textaufgabe gestoßen, bei der ich nicht so richtig weis, wie man die angehen solll.

Aufgabe: Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Beweisen Sie die Aussage gegebenfalls oder widerlegen Sie diese mit einem Gegenbeispiel.

A) Die Vektoren einer Vektormenge, in der der NUllvektor enthalten ist, sind linear abhängig.

B) Enthält eine Menge von Vektoren einen Vektor und seinen Gegenvektor, sind die Vektoren linear abhängig.

C) Streicht man von n linear unabhängigen Vektoren einen Vektor, so sind die restlichen n-1 Vektoren linear abhängig.

D) Streicht man von n linear abhängigen Vektoren einen beliebigen Vektor, so sind die restlichen n-1 Vektoren linear abhängig.

E) Fügt man zu n linear unabhängigen Vektoren einen beliebigen Vektor zu, so sind die n+1 Vektoren stets linear unabhängig.

F) Fügt man zu n linear abhängigen Vektoren einen beliebigen Vektor zu, so sind die n+1 Vektoren stets linear abhängig.

Meine Ansätze:
Wie gesagt ich habe noch nie sowas beweisen müssen und habe daher auch keine Herangehensweise und Ansatz. Und wenn ich mir diese Aufgabe ansehe, so habe ich das Gefühl, dass ich lineare abhängigkeit und unabhängigkeit nicht verstanden habe. Lesen1

Hoffe jemand kann wieterhelfen.

25.06.2010, 11:13

system-agent

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Na dann erzähle doch mal was es für Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ bedeutet, linear unabhängig zu sein.

$\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ sind linear unabhängig genau dann wenn ... .

25.06.2010, 11:20

mrburns

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wenn $\begin{eqnarray*} r_1*v_1... + ... r_n*v_n = 0 , \end{eqnarray*}$ , und es eine Lösung für außer r=0 rauskommt, sprich Linearkombination ist möglich.

Mein Problem ist dass ich nicht weis wie ich die Aufgabe beweisen soll. Ich kenn zwar die Defintionen, nutzen kann ich an der Stelle nicht.

25.06.2010, 11:35

system-agent

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Ja.
Ich schreibe dir die Definition einmal ein bischen um.

Seien $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ Vektoren und $\begin{eqnarray*} r_1,...,r_n \end{eqnarray*}$ Skalare [ich denke mal dass diese aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sein sollen? Aber das funktioniert auch alles mit einem beliebigen Körper] mit $\begin{eqnarray*} r_1v_1+...+r_nv_n=0\quad(*) \end{eqnarray*}$ .
Die Vektoren heissen linear unabhängig, falls die Gleichung (*) nur für $\begin{eqnarray*} r_1=r_2=...=r_n=0 \end{eqnarray*}$ richtig ist.

Der Witz an der Definition ist das unterstrichene Wörtchen "nur".

Zu (A):
Nehmen wir also Vektoren $\begin{eqnarray*} 0,v_2,...,v_n \end{eqnarray*}$ und eine Gleichung
$\begin{eqnarray*} r_1\cdot0+r_2v_2+...+r_nv_n=0 \end{eqnarray*}$ .
Gibt es eine Möglichkeit die $\begin{eqnarray*} r_1,...,r_n \end{eqnarray*}$ zu wählen derart, dass nicht alle Null sind und die angegebene Gleichung trotzdem richtig ist?
Falls ja, sind die Vektoren linear abhängig und die Behauptung richtig.

25.06.2010, 12:20

mrburns

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Kann ich mir gut vorstellen, dass es möglich wäre, schließlich gibt es in der Vektormenge beliebig viele Vektoren, und ein paar würden wohl zusammenpassen.
Sind die Beweise für diese Aufgabe alle samt theorethisch, d.h ohne den eigendlichen schriftlichen Beweis.

25.06.2010, 12:46

system-agent

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Was für eine Vektormenge denn?
Hast du wirklich die Definition verstanden?

Was verstehst du bitte unter einem schriftlichem Beweis?
Das was wir hier gerade am tun sind ist doch ein schriftlicher Beweis.

Also nochmal die Frage:
Gibt es eine Möglichkeit die $\begin{eqnarray*} r_1,...,r_n \end{eqnarray*}$ zu wählen derart, dass die Gleichung stimmt und nicht alle Null sind?
Falls ja, dann gib ein Beispiel an und der Beweis ist zu Ende.

25.06.2010, 13:09

mrburns

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Naja Aufgabe A lautet: Die Vektoren einer Vektormenge...

Und da keine konkreten Vektoren gegeben sind, sondern nur allgemein formuliert $\begin{eqnarray*} r_1 v_1 + r_n v_n \end{eqnarray*}$ , Ist doch das einzige was ich tun kann, zu sagen dass dies möglich ist. Ist das aber ausreichend.

Wenn dies nicht möglich sein sollte, so bitte ich um Erläuterung.

25.06.2010, 13:17

system-agent

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Du sollst hier feststellen ob die Aussage wahr ist oder nicht.
Da ist nichts mit "könnte sein" oder etwas anderes verlangt.

Das mit der Vektormenge ist wie folgt zu verstehen:
Angenommen wir haben einen Vektorraum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und wir nehmen uns n-Vektoren daraus hinaus, $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ .

Du hast also die Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ und diese sollen fest sein. Beliebig aber fest.

In der Aussage (A) steht nun als zusätzliche Information dass einer der Vektoren der Nullvektor sein soll, also ohne Einschränkung kann dies der erste Vektor sein, also $\begin{eqnarray*} v_1=0 \end{eqnarray*}$ . Nun lautet die Aussage:
Die Vektoren $\begin{eqnarray*} 0,v_2,...,v_n \end{eqnarray*}$ sind linear abhängig.

Diese Aussage ist übrigens wahr. Nun sollst du zeigen [=beweisen, begründen], wieso es wahr ist. Um das zu tun müsstest du bloss meine Frage beantworten und zwar indem du dir Gedanken darüber machst, welche Zahlen für $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ möglich sind, damit die oben genannte Gleichung immernoch wahr ist.

25.06.2010, 13:45

mrburns

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Irgendwie reden wir an uns vorbei. Um deine Frage beantowrten zu können, brauche ich Vektoren, damit ich mittels LGS nachprüfen kann, ob denn die ausgewählten/gegebenen Vektoren linear abhängig sind oder nicht.
Da mir aber keine Vektoren gegeben sind, kann ich dies doch nicht machen.
Ich weisnicht was du mir vermitteln willst, wie würdest du es machen.

25.06.2010, 13:58

system-agent

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Es ist ganz einfach.
Wenn die angegebene Gleichung nur dann erfüllt ist, wenn $\begin{eqnarray*} r_1=r_2=...=r_n=0 \end{eqnarray*}$ gilt, dann sind sie linear unabhängig, andernfalls linear abhängig.

Aber wenn ich zb. $\begin{eqnarray*} r_1=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r_2=...=r_n=0 \end{eqnarray*}$ wähle, dann stimmt die Gleichung immernoch, da $\begin{eqnarray*} 1\cdot0 + 0\cdot v_2+...+0\cdot v_n=0 \end{eqnarray*}$ .
Also müssen nicht alle der $\begin{eqnarray*} r_i \end{eqnarray*}$ Null sein und die Vektoren sind linear abhängig.

25.06.2010, 14:34

mrburns

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Ich gebe zu darauf hätte man auch kommen können. smile

Nur in der Praxis gibt es da ein Problem. Nehmen wir mal einen Nullvektor und 2 andere beliebige: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nach Voraussetzung, sollte es möglich sein, dass einer der 3 als Linearkombination durch die anderen darstellbar ist, anderesets linear unabhängig.
Doch diese sind es nicht und das bereitet mir Schwierigkeiten.

25.06.2010, 14:36

Iorek

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Wie wäre es mit $\begin{eqnarray*} 0\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} + 0\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

25.06.2010, 14:41

system-agent

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Im Übrigen sagt es der Beweis schon, dass diese niemals linear unabhängig sein können, ganz egal welche anderen Vektoren du dir ausdenkst Augenzwinkern

.

Hab Vertrauen in das, was du beweist smile

25.06.2010, 14:47

mrburns

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Zitat:

Original von Iorek
Wie wäre es mit $\begin{eqnarray*} 0\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} + 0\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Ja aber du hast doch für r1 und r2 nur Null gewählt, dh linear unabhängig.
Bei linear abhängig muss eine Lösung r ungleich null sein.

@system-agent: Nee aber ehrlich, man kann das nicht beweisen. Und r*Nullvektor gilt nicht, da er ja nichts Bewegt, kein eigendlicher Vektor ist, sonder ein Punkt.

25.06.2010, 14:50

system-agent

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Zitat:

Original von mrburns
@system-agent: Nee aber ehrlich, man kann das nicht beweisen. Und r*Nullvektor gilt nicht, da er ja nichts Bewegt, kein eigendlicher Vektor ist, sonder ein Punkt.

Es ist ein Beweis - zumindest wenn man verstanden hat was denn ein Vektorraum ist. Da gibt es nichts mit "bewegen" oder sonstwas.
Das ist ein rein algebraisches Objekt. In dem Fall empfehle ich dir zuerst einmal dir klarzumachen, was ein Vektorraum ist.

25.06.2010, 14:51

Iorek

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Du bringst die Definitionen durcheinander...

1.

Zitat:

Original von mrburns
wenn $\begin{eqnarray*} r_1*v_1... + ... r_n*v_n = 0 , \end{eqnarray*}$ , und es eine Lösung für außer r=0 rauskommt, sprich Linearkombination ist möglich.

Zitat:

Original von system-agent
Seien $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ Vektoren und $\begin{eqnarray*} r_1,...,r_n \end{eqnarray*}$ Skalare [ich denke mal dass diese aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sein sollen? Aber das funktioniert auch alles mit einem beliebigen Körper] mit $\begin{eqnarray*} r_1v_1+...+r_nv_n=0\quad(*) \end{eqnarray*}$ .
Die Vektoren heissen linear unabhängig, falls die Gleichung (*) nur für $\begin{eqnarray*} r_1=r_2=...=r_n=0 \end{eqnarray*}$ richtig ist.

Der Witz an der Definition ist das unterstrichene Wörtchen "nur".

Beides stimmt, und man kann beides nutzen, nur wird die Rechnung anders aussehen.

Ich könnte dir auch $\begin{eqnarray*} a\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 0\cdot v_1 + 0 \cdot v_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ angeben, für $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ beliebig.

Und das mit dem "bewegen" würde ich dir empfehlen zu vergessen, in einem Vektorraum wird nichts bewegt, das ist eine algebraische Struktur.

25.06.2010, 15:05

mrburns

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Mit bewegen meine ich eher, dass ein Vektor eigendlich dazu dient, dass man mithilfe des Vektors von einem Punkt zum anderem gelangt. Vektoren kann man als Pfeile im Raum interpretieren. Mit 2 Pfeilen, dessen länge man varieren kann(Skalar), kann man dann einen neuen Vektor darstellen.

Wie dem auch sei. Es gibt ja 2 Defintionen. Die erste haben wir ja die ganze Zeit diskutiert. Also: r1*V1+ Rn*Vn=0
Die andere Definition ist, dass man aus 2 Vektoren einen anderen darstellen können muss, damit diese linear abhängig sind.
Dies ist eigendlich auch die ursprüngliche Definition, denn die, die wir gerade besprochen haben, wurde aus dieser hergelietet.

25.06.2010, 15:12

system-agent

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Also das alles was du hier gesagt hast bezieht sich bloss auf eine Anschauung.
Wie gesagt, ein Vektor hat nichts mit einem Pfeil oder sonstetwas zu tun - diese Interpretation ist bloss in einem Anschauungsraum sinnvoll.

25.06.2010, 15:24

mrburns

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Ich habe mal soeben in meinem Lehrbuch nachgeschaut und tatsächlich festgestellt dass Vektorräume so ziemlich am Ende gelehrt werden.
So komplex wollte ich es allerdings nicht haben. Diese Aufgabe die ich gestellt habe, die habe ich aus den vorderen Seiten, also wo die Grundlagen beigebracht werden.
Daher möchte ich nicht vom Vektorraum ausgehen, sondern vom Aanschaungsraum, also höchstens R^3.
Ich finde wenn man etwas beweisen sollte, so muss man es auch irgendwie geometrisch oder sonst wie nachvollziehen können. Und ich kann zwar nachvollziehen, dass r*0 immer null ergibt, doch kann ich mit der anderen Definition nicht zum seben Ergebnis kommen.

25.06.2010, 15:45

mrburns

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Zitat:

Oh Sorry das ist doch richtig. Wenn man 1 Vektor durch 2 Andere darstellt, so darf hier r1 und r2 =null sein. Das habe ich jedoch nicht bedacht und war zugleich mein Denkfehler. Versuche nachher noch die anderen Aufgaben zu lösen, wenn ich nicht weiterkomme frag ich nach.
Danke

25.06.2010, 15:47

Iorek

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Da der Agent off ist:

Was hast du denn vor zu studieren? Wenn es ein Mathematikstudium werden soll, solltest du dich schleunigst vom "Anschaulichen" verabschieden. Ein Vektorraum ist eben nicht der IR³ wo man sich alles schön einzeichnen kann, üblicherweise benutzt du einen allgemeinen Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathcal V \end{eqnarray*}$ über einem bel. Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ , im endlich dimensionalen Fall ist die Dimension des Vektorraums häufig mit $\begin{eqnarray*} \dim(\mathcal V)=n \end{eqnarray*}$ bezeichnet (wobei Bezeichnungen natürlich beliebig zu wählen sind, man könnte statt n auch m nehmen, oder g, h, r...). Ein Vektor kann auch nicht immer als Pfeil veranschaulicht werden, wie sieht ein Pfeil in einem 11-dimensionalen Raum aus? Daneben gibt es auch noch Vektorräume die zu Beginn nicht einmal in der dir bekannten Vektorschreibweise aufgeschrieben werden können, der Raum der Polynome wäre ein Beispiel.

Außerdem: wenn man eine math. Aussage beweisen will, kann man sich auch nicht nur auf die anschaulichen Beispiele beschränken, ansonsten ist die Aussage für den allgemeinen Fall nicht zu gebrauchen.

25.06.2010, 16:00

mrburns

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Im kommendem Wintersemester fang ich dann an zu studieren. Zunächst gilt es allerdings die Grundlagen zu festigen und da ist mir diese Aufgabe aufgefallen...
Das mit den Vektoräumen ist ein wahlgebiet bei uns, und aus zeitlichen Gründen haben wir es überhaupt nicht besprochen, werds mir aber gegen Ende der Ferien angucken.

26.06.2010, 07:56

system-agent

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Das würde ich nun nicht unbedingt zu den Grundlagen zählen.
Wie schon erwähnt, der Begriff vom Vektorraum geht viel weiter als ein paar Pfeilchen in der Ebene oder im Anschauungsraum und die Unterscheidung von Punkt und Verschiebung ist äusserst unglücklich, denn sie suggeriert dass es zwei Arten von Vektoren gibt.
Dem ist aber nicht so.
Diese Unterscheidung macht nur in der Anschauung einen Sinn.

Wenn du willst kannst du dich gerne an den anderen Aufgaben versuchen und auch gerne im Anschauungsraum ersteinmal ausprobieren um zu entscheiden ob es wahr ist oder nicht.
Letztlich ist aber alles was zählt, dass $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ irgendwelche Vektoren sind, also nicht konkret gegebene.
Und alles was man tun muss ist eine Gleichung zu schreiben und die Definition zu überprüfen; manchmal ist die Lösung auch ein bischen subtiler [zb hilft Aussage (A) bei Aussage (E)].

26.06.2010, 18:20

mrburns

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Also ich habe die anderen Aufgaben versucht zu lösen, wobei A schon gelöst wurde.

Bei B habe ich: Ist Wahr, denn
$\begin{eqnarray*} r_1*v_1-r_2*v_2...+r_n*v_n=0 ,v_1=-v_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow r_1(v_1-v_2)+r_n*v_n=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow r_1*0++r_n*v_n=0 \end{eqnarray*}$ , r1 aus R

C)Ja, $\begin{eqnarray*} r_1*v_1+r_2*v_2...+r_{n-1}*v_{n-1}=0=r_1*v_1+r_2*v_2...+r_n*v_n \end{eqnarray*}$

D) Ja, es sei denn, dass $\begin{eqnarray*} r_1,r_2,r_{n-1}\neq 0 \end{eqnarray*}$
Das heißt, dass es nur ein Vektor rausgenommen werden darf, mit r=0

E) Nein, denn es könnte theorethisch ein Vektor sein, mit dem man andere Vektoren mit r ungleich Null darstellen kann.

F) Ja, $\begin{eqnarray*} r_1*v_1-r_2*v_2...+r_n*v_n+0*v_{n+1}=0 \end{eqnarray*}$

Ergänzungen, Berichtigungen und korrekturen zur Schreibweise sind erwünscht.

26.06.2010, 18:41

Iorek

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Die f) sieht soweit ganz aus, allerdings solltest du das noch auführlicher begründen.

Zu e): Begründung ist generell richtig, ich würde allerdings noch ein (allgemein gehaltenes) Gegenbeispiel angeben, damit wäre die Behauptung widerlegt.

Zu d): Was willst du damit sagen? Ich versteh deine Begründung nicht.

Zu c) : Da steht eine Gleichung ohne Angabe was deine $\begin{eqnarray*} r_i,1\leq i\leq n \end{eqnarray*}$ seien sollen. Außerdem: Lies nochmal genau die Aussage durch die du zeigen oder widerlegen sollst (Tipp: die Aussage ist falsch).

Zu b): Was willst du mit deiner Folgerung beweisen? Wie begründest du deine Umformungen? So wie es da steht, ist das falsch.

Allgemein als Tipp: Sieh dir mal ein paar andere mathematische Beweise an und versuch die Struktur wie so ein Beweis aufgebaut ist zu erkennen. Auch wenn es am Anfang sehr kleinlich erscheinen kann, die äußere Form eines Beweises ist genauso wichtig wie der Inhalt. Ein kleines Beispiel anhand der Aufgabe f):

Es sei $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ein Körper und $\begin{eqnarray*} \mathcal V \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \dim(\mathcal V)=n<\infty \end{eqnarray*}$ .

Behauptung: Fügt man zu n linear abhängigen Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,\dots,v_n\in\mathcal V \end{eqnarray*}$ einen beliebigen Vektor hinzu, so sind $\begin{eqnarray*} v_1,\dots,v_n,v_{n+1} \end{eqnarray*}$ stets linear abhängig.

Zusätzlich zu der Behauptung stehen hier noch die Voraussetzungen, die man hat. (Vektorraum über einem Körper...)

Beweis: Es gibt verschiedene Arten von Beweis, hier verwenden wir den direkten Beweis
Es seien $\begin{eqnarray*} v_1,\dots,v_n\in\mathcal V \end{eqnarray*}$ linear abhängig, d.h. $\begin{eqnarray*} \exists ~a_1,\dots,a_n\in K:~a_1v_1+\dots a_nv_n=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a_1,\dots,a_n)\neq (0,\dots,0) \end{eqnarray*}$

Hier schreiben wir auf, was wir voraussetzen (dürfen); wir wissen, dass die Vektoren linear abhängig sind, also gibt es eine nicht-triviale Linearkombination des Nullvektors.

Sei $\begin{eqnarray*} v_{n+1}\in\mathcal V \end{eqnarray*}$ beliebig, dann gilt: $\begin{eqnarray*} \underbrace{a_1v_1+\dots a_nv_n}_{=0~\text{nach Vor.}}+\underbrace{0\cdot v_{n+1}}_{=0}=0 \end{eqnarray*}$ , damit folgt die Behauptung.

Diese Zeile ist jetzt der eigentliche Beweis, wir nutzen die Voraussetzungen und zeigen, dass die Behauptung wahr ist.

Versuch dich mal mit dieser Vorlage an den anderen Aussagen.

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